左偏樹是一種能夠在支援在 $o(logn)$ 的時間複雜度內進行合併的滿足堆性質的樹，因此別名「可並堆」，具有可合併與複雜度穩定的優勢。
模板題基本概念與定義
外結點：至少有乙個兒子是空節點的節點。
$dist_x$ 表示以 $x$ 為根的子樹內到 $x$ 距離最小的外結點的距離。特別的，對於空結點，其 $dist=-1$
左偏樹的性質
左偏樹滿足小根堆性質（大根堆貌似也可以），即對於結點 $x$，總有 $v_x\leq v_$ 且 $v_x\leq v_$。
左偏樹滿足左偏的性質，即對於任意節點均有：$dist_\geq dist_$。
顯然的結論
$dist_x=dist_+1$。
一棵有 $n$ 個結點的左偏樹其根節點的 $dist$ 是 $o(logn)$ 的。（可以保證合併的複雜度的穩定性）
合併操作
顯然我們對於兩個堆我們會乙個乙個比較合併，複雜度與樹高正相關。顯然，如果退化成鏈，複雜度將為 $o(n)$。
這時我們左偏樹的優勢就體現出來了，由上面的結論 2，一次合併的複雜度穩定為 $o(logn)$。由左偏的性質，每次合併時，我們選擇 $dist$ 的更小的右兒子去合併，這個過程可以遞迴實現，在過程中利用 $swap$ 維護堆性質，並在合併後回溯時維護左偏的性質即可。
1view codeint merge(int x,inty)2
刪除所在堆頂元素操作
這裡我們需要對於每個結點維護乙個 $root_x$ 表示該節點所在的堆頂元素（即所在的左偏樹根），那麼對於 $root$ 的維護，如果合併後暴力的乙個乙個跳，複雜度將退化為 $o(n)$。我們聯想到並查集，於是使用路徑壓縮，將複雜度維持在 $o(logn)$。在刪除堆頂元素時，只需要將根的左右兩棵子樹合併即可，由於均滿足左偏樹性質，所以合併完仍為左偏樹。同時記得要將刪除節點$x$ 的 $root_x$ 也指向合併後的根，以保證路徑壓縮的正確性，同時將刪除結點的資訊清空。
1view codeint get_root(intx)2
6void del(intx)7
完整**
1 #include2view codeusing
namespace
std;
3static inline int
read()414
return flag ? -x : x;15}
16static inline void write(int
x)17
21const
int n = 100000 + 10;22
struct
node
2326
} val[n];
27int
n,m;
28bool
inl[n];
29int
lc[n],rc[n],dist[n],root[n];
30int merge(int x,int
y)31
39int get_root(int
x)40
44void del(int
x)45
50 signed int
main()
5159
while(m--)
6070
else
7180}81
}82return0;
83 }
左偏樹學習筆記
左偏樹是一種基於二叉樹的可並堆。定義乙個節點的 距離 dis xdis x disx 為它到空節點的最短路長度，左偏樹強制要求 dis lson dis rson dis ge dis dislso n d isrs on 所以 dis x di srso n 1dis x dis 1 disx d...
左偏樹 學習筆記
首先要知道左偏樹是用來幹什麼的。如果給我們兩個優先序列，然後讓我把這兩個優先佇列合併成乙個優先佇列。如果直接用堆，就是將乙個佇列裡面的數不斷彈出然後扔到另乙個佇列裡。複雜度是 o n n為佇列中數的個數。但是用左偏樹就可以做到 log n 1 n 2 ps 為了便於討論，本文所有的左偏樹均已小根樹為...
學習筆記 左偏樹
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