目錄性質
操作關於建樹
一些題目
城池攻占
魔法豬學院
當且僅當這個節點的左子樹和右子樹中的乙個是空節點。
它子樹中離他最近的外節點到這個節點的距離。
首先，左偏樹保證堆性質。其次，左偏樹任一節點的左兒子的距離不小於右兒子的距離。
任一節點的距離為其右兒子的距離 \(+1\)。
\(n\) 個點的左偏樹，其最大距離不超過 \(\log n\) 級別。
如果乙個節點的距離為 \(d\)，說明以它為根的子樹至少包含一棵高度為 \(d\) 的滿二叉樹。這就要求節點數至少為 \(2^d\) 級別。
假設維護大根堆，令 \(y\) 為 \(x,y\) 中權值較小的節點，將 \(y\) 與 \(x\) 的右兒子合併。返回時維護 "左兒子的距離不小於右兒子的距離"，然後將 \(x\) 的距離更新。
考慮複雜度。由於 \(x,y\) 在合併時是交叉的，我們不妨定義 \(t=d_u+d_v\)，其中 \(u,v\) 分別是 \(x,y\) 子樹目前合併到的點。由於每次向右兒子走，\(t\) 在一次遞迴中必定減一，而它初始時是 \(\log size_x+\log size_y\) 範圍的，所以單次合併 \(\mathcal o(\log n)\)。
int merge(int x,int y)我們可以粗糙地分析一下。不妨設 \(n=2^k\)。從第二次合併開始分析：
單次合併複雜度
樹的個數
合併總複雜度
\(2\)
\(2^\)
\(2\times 2^\)
\(4\)
\(2^\)
\(4\times 2^\)
\(6\)
\(2^\)
\(6\times 2^\)
\(8\)
\(2^\)
\(8\times 2^\)
由於單次合併複雜度每次增長 \(2\)，所以後面的合併總複雜度會顯著減小，大概類似於 \(2^k-1=\sum_^ 2^i\) 的分析？
支援找到左偏樹的根，然後將其刪除。首先用路徑壓縮並查集判斷是否在一棵左偏樹，但是刪除了根 \(rt\) 之後我們該如何維護呢？算出新的根，然後將 \(rt\) 的父親置為新根即可。
\(\text\)
對於每個城池維護乙個左偏樹（小根堆），用來存放可以來到這個城池的騎士（並不一定能活著出去），那麼就可以邊刪根邊統計城池的死亡騎士數和騎士到哪座城池。
關於戰鬥力的修改，把左偏樹打兩個 \(\text,\text\) 標記，因為所有操作都是自頂向下的，所以保證正確性。注意要考慮挺到最後的騎士。
一次merge()會減少乙個騎士，所以複雜度是 \(\mathcal o(m\log m)\) 的。
另外要注意的是，這題的 \(f_u\) 維護的是城池 \(u\) 對應的左偏樹的根，而不是維護父子關係。
\(\text\)
題目轉化成求第 \(k\) 短路。設反圖為 \(g'\)，首先在 \(g'\) 上從 \(t\) 開始跑最短路，加入最短路上的邊，這樣就構成了一棵樹 \(t\)。不過事實上這可能不是一棵樹，我們對於點 \(v\)，只需要選擇乙個為它貢獻最短路的點 \(u\) 作為它的父親即可。至於為什麼，下文會有說明。
如何構造 \(k\) 短路？乙個基本的想法是把樹邊替換成非樹邊。假設一條非樹邊 \(e(u,v)\) 連線樹上存在祖孫關係的兩點 \(u,v\)（不妨設 \(u\) 是 \(v\) 的祖先），令 \(u\) 為 \(e(u,v)\) 的初點，\(v\) 為末點，那麼就有
\[\delta_=val_-(d_v-d_u)
\]具體地，令 \(p'\) 為路徑 \(p\) 去掉樹邊的邊集。用優先佇列維護 \(\sum_\delta_e\)（它代表了 \(p'\)），每次找到最小值與其對應的終點 \(u\)（終點定義為 \(p'\) 中某條邊的起點，它滿足是 \(p'\) 中起點在 \(t\) 中 \(n\) 到 \(1\) 的那條樹上路徑中離 \(n\) 最近的點），我們可以進行兩種擴充套件：
可以用左偏樹（小根堆）來維護非樹邊的選擇，注意需要可持久化。另外這也可以解答最開始的問題：如果建出以 \(t\) 為根的樹，就可以保證擴充套件方向一定是向 \(t\) 的，而不會行進到不合法的點。
左偏樹一次合併是 \(\mathcal o(\log m)\) 的，一共有 \(n+m\) 次合併，正好和 \(\sf dijkstra\) 的複雜度一樣。點數每次合併增加 \(\log m\) 個點，所以也是可過的。
另外再說明一下為什麼merge()函式中當 \(x,y\) 有乙個為 \(0\) 時可以不新增節點：因為此時並沒有點的資訊被更改。好簡單啊可是我又想了很久。
需要注意題目要求到達 \(n\) 就結束了，所以我們要刪去 \(n\) 的所有出邊。
\(\text\)
左偏樹學習筆記
左偏樹是一種基於二叉樹的可並堆。定義乙個節點的 距離 dis xdis x disx 為它到空節點的最短路長度，左偏樹強制要求 dis lson dis rson dis ge dis dislso n d isrs on 所以 dis x di srso n 1dis x dis 1 disx d...
左偏樹 學習筆記
首先要知道左偏樹是用來幹什麼的。如果給我們兩個優先序列，然後讓我把這兩個優先佇列合併成乙個優先佇列。如果直接用堆，就是將乙個佇列裡面的數不斷彈出然後扔到另乙個佇列裡。複雜度是 o n n為佇列中數的個數。但是用左偏樹就可以做到 log n 1 n 2 ps 為了便於討論，本文所有的左偏樹均已小根樹為...
學習筆記 左偏樹
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