擴充套件歐幾里得演算法筆記

在學習擴歐之前，我們首先要了解下面這兩個部分的知識。給定數 \(a,b\), 求 \(gcd(a,b)\)。

也就是說，對於數 \(a,b\), \(gcd(a,b)=gcd(b,a \%b)\)

對於歐幾里得演算法，也比較好用遞迴實現。

c++**如下

int gcd(int a,int b)

下面,可以正式進入對擴充套件歐幾里得演算法的學習了

首先，由於裴蜀定理，我們知道 \(ax+by=gcd(a,b)\) 一定存在，而擴充套件歐幾里得演算法，就是為了求出題中的\(x,y\)。

而當我們的歐幾里得演算法執行到最後一步，也就是 \(b=0\) 時，此時的 \(gcd(a,b)=a\)，那麼很明顯 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的解為 \(x=1,y=0\)。

既然知道了最後一層，那我們就可以層層遞推出第一層了（一開口就知道老千層餅了）。 但是要如何實現呢？

首先我們知道：\(a\%b=a-(a/b)*b\)（注意此處的"/"捨去餘數）；代入：

\(b*x_1 + (a-(a/b)*b)*y_1\)

\(= b*x_1 + a*y_1 – (a/b)*b*y_1\)

\(= a*y_1+ b*(x_1 – a/b*y_1) = gcd\) 發現 \(x_0 = y_1 , y_0 = x_1 – a/b*y1\)

引用自此處

**如下

int x,y,gcd;

void exgcd(int a, int b)
exgcd(b,a%b);//遞迴
int t=y;//遞迴返回後執行
y=x-(a/b)*y;
x=t;
}

讓我們來看這樣一道題

洛谷p1082 同餘方程

求關於\(x\)的同餘方程 \(ax≡1(modb)\) 的最小正整數解。

對於 100%的資料，&2 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000&。

輸入格式

一行，包含兩個正整數 a,ba,b，用乙個空格隔開。

輸出格式

乙個正整數 x_0，即最小正整數解。輸入資料保證一定有解。

#includeusing namespace std;

int x,y;
void exgcd(int a, int b)
exgcd(b,a%b);
int t=y;
y=x-(a/b)*y;
x=t;
}int main()

因為題中要求的是最小正整數，所以先加，保證為正數，後取餘，保證為最小。

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