在«幾何原本»中，歐幾里得提出了用輾轉相除的方法求解兩個整數\(a,b\)的最大公約數的演算法：
gcd(a, b)
if (0 == b) return a
else return gcd(b, a mod b)
證明：令\(d\)表示\(a,b\)的公約數，那麼\(d|a\)且\(d|b\)
推出\(d|(a\,mod\,b)=a-kb\)
所以\((a,b)\)和\((b,a\,mod\,b)\)兩者擁有的公約數集合是一樣的
即得證歐幾里得演算法最多隻會遞迴\(\theta(\log n)\)次，所以完全不用擔心爆棧，證明如下：
引理：設\(a>b\geq 1\)並且\(gcd(a,b)\)遞迴呼叫了\(k\geq 1\)次，那麼\(a\geq f_，b\geq f_\)，其中\(f_k\)表示第\(k\)項斐波那契數
證明：這裡用歸納法證明，當\(k=1\)時，\(b\geq f_2=1,a\geq f_3=2\)成立
當\(k>1\)時，\(b\geq f_,a\,mod\,b\geq f_\)並且\(a\geq b+(a\,mod\,b)\geq f_+f_=f_\)
當要求解方程\(a∗x+b∗y=gcd(a,b)\)的整數解的時候，只需要擴充套件一下歐幾里得演算法就可以得到整數解\((x,y)\)：
exgcd(a, b, &x, &y)
if (0 == b)
x = 1 y = 0
return a
else
d = exgcd(b, a % b, &xx, &yy)
x = yy y = xx - a / b * yy
return d
歐幾里得演算法
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