一道證明題

最近看《劍指offer第二版》有這麼一道面試題：

題目：給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段 (m和n都是整數，n>1並且m>1)每段繩子的長度記為k[0],k[1],…,k[m].請問k[0]k[1]…k[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18。

書上講了一種貪婪演算法：

當n≥5時，我們盡可能多地減長度為3的繩子；當剩下的繩子長度為4時，把繩子剪成兩段長度為2的繩子（其實這時候沒必要再減了，只不過題目要求至少剪一刀）。

首先，當n≥5時，我們可以證明2(n-2)>n並且3(n-3)>n。也就是說，當繩子剩下的長度大於或者等於5的時候，我們就能把它剪成長度為3或者2的繩子段。另外，當n≥5時，3(n-3)≥2(n-2)，因此我們應該盡可能多地剪長度為3的繩子段。

下面是我的思路，首先是基本不等式的推廣：

一般地，若a1,a2,a3,...an是正實數，則有

\[\frac\ge\sqrt[n]

\]所以可以把這道題轉換成下面這個問題：

已知函式：

\[f(m)=(n/m)^m

\]當m取幾的時候，f(m)最大？條件是m和n/m都是正整數。

求導一下，得：

\[\frac = \,\ln n+\left(-\ln m-1\right)\,n^}\over}}

\]於是可得，當m≤n/e時，函式單調遞增；當m≥n/e時，函式單調遞減，所以當m=n/e時（此時n/m=e），f(m)取到最大值（e是自然常數）。下面是f(m)的影象：

但是n/e和e顯然不是正整數（條件是m和n/m都是正整數），這時候取離n/e最近的兩個整數橫座標就行，但是這時候n/m（也就是每段繩子的長度）不一定是整數！而且之前的大前提是每段繩子長度都相等時才取到最大值（也就是基本不等式中的a1，a2，...都相等時取等號）。這我就很尷尬了。

沒辦法，只能換個思路。根據題意可以得出公式：f(n)=max(i×f(n-i))，其中1≤i≤n, n≥1, 且n,i都是整數。這裡的i就相當於第一刀剪了長度為i的一段，然後這段就確定了，之後再也不會剪了。

我們設g(i)=i×f(n-i)

當i≥5時:

i×f(n-i)≤(i-2)×2×f(n-i) //因為當i≥5時，有i≤(i-2)×2

i×f(n-i)≤(i-2)×f(n-i+2) //因為2×f(n-i)=2×f(n-i+2-2)≤f(n-i+2)，（因為f(n)=max(i×f(n-i)),這裡n取n-i+2，i取2就行了）

i×f(n-i)≤(i-2)×f(n-(i-2))

即g(i)≤g(i-2)

這個結論告訴我們：

g(3)≥g(5)≥g(7)≥g(9)≥...

g(4)≥g(6)≥g(8)≥g(10)≥...

而如果我們能證明g(1)、g(2)、g(4)都小於g(3)的話，那麼g(3)就是所有g(i)中最大的。（至於為什麼是3，因為一會兒會在g(2)和g(3)中決勝負）

首先如果g(1)是最大的，那就說明f(n)=1×f(n-1)，這樣的話對於任意的n, f(n)都相等，顯然矛盾。

其次，g(4) = 2×2×f(n-4) ≤ 2f(n-2) = g(2)

所以，最終就是要比較g(2)和g(3)誰大，沒辦法只能祭出大招了，數學歸納法。

當n=5時，有3f(2) ≥ 2f(3)，所以g(3) ≥ g(2)成立

當n=6時，有3f(3) ≥ 2f(4)，所以g(3) ≥ g(2)成立

假設當n=k時，3f(k-3) ≥ 2f(k-2)成立，從而得到f(k)=3f(k-3)

n=k+1時，3f(k+1-3) ≥ 2f(k+1-2)成立，即3f(k-2) ≥ 2f(k-1)，從而得到f(k+1)=3f(k+1-3)

當n=k+3時，

需要證明3f(k+3-3) ≥ 2(k+3-2)

就是要證明3f(k) ≥ 2(k+1)

就是要證明3(3f(k-3)) ≥ 2(3f(k+1-3))

就是要證明3f(k-3) ≥ 2f(k-2)

證明完畢

（其實還要再手動算個n=7的情況，這樣就可以這樣推導了：(5,6)=>8 ; (6,7)=>9 ; (7,8)=>10 ; (8,9)=>11 ;...）

所以現在就可以得到g(3)≥g(i)的結論了，所以f(n)=3f(n-3)，因為i≥5,所以n肯定也要≥5。

一道證明題

一道有趣的數學證明題

編譯原理（一道小證明題）

高數證明題思路

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