∑j
=0n∑
k=j+
1ncj
nckn
(k−j
)=nc
22n2
從北京到廣州兩個半小時的飛機，上飛機前把題目抄在草稿紙上，心想飛機上無聊正好把這題給做了，做完看看電影睡睡覺估計就到了。然而這道題著實做了兩個半小時，距離降落30分鐘才搞定完整的解法，把解法在整理一遍的時間都不夠。在飛機上一萬次想開啟手機看答案……令k
−j=r
原式=∑r=1
n[p−
q=r]
rcpn
cqn
構造多項式. f(
x)=c
0n+c
1n1x
+c2n
1x2+
...+
cnn1
xn=(
1+1x
)n g
(x)=
c0n+
c1nx
+c2n
x2+.
..+c
nnxn
=(1+
x)n
我們發現式子右邊兩個組合數可以表示成這兩個多項式乘積的xr
項係數.原式
=∑r=
1nr[
xr](
f(x)
g(x)
)=∑r
=1nr
[xr]
((1+
1x)n
(1+x
)n)
再觀察右邊那個式子，相當於多項式(1
+x)2
n 的xn
+r項係數，可以知道這一項係數的值為cn
+r2n
=cn−
r2n . 原式
=∑r=
1nrc
n−r2
n 有r
=n−(
n−r)
原式=n∑r=
1ncn
−r2n
−∑r=
1n(n
−r)c
n−r2
n 我們有這麼一條公式. mc
mn=m
n!m!
(n−m
)!=n
!(m−
1)!(
n−m)
!=n(
n−1)
!(m−
1)!(
n−m)
!=nc
m−1n
−1 原
式=n∑
r=1n
cn−r
2n−2
n∑r=
1ncn
−r−1
2n−1
根據那幾條經典的組合數公式，式子還能化. 原式
=12n
(22n
−cn2
n)−n
(22n
−1−2
cn−1
2n−1
) 拆括號合併同類項啦. 原式
=12n
(4cn
−12n
−1−c
n2n)
有2=2n
n ，把組合數拆成階乘，弄完在轉成組合數，就能得到. 原式
=nc2
2n2
證畢.寫的倉促可能會有寫不明白或者寫錯的地方，歡迎詢問歡迎批評指正！
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