與座標軸平行的矩形和圓的位置關係。
分兩種情況。
此時答案為零。問題歸結為如何判斷圓與矩形交集不為空。
先排除矩形頂點在圓內或圓心在矩形內。
此時，若矩形與圓交集不為空，則必有矩形的某條邊穿過圓（「穿過圓」也可表述為「割圓」，「線段穿過圓」的確切定義為「線段與圓周有兩個交點」）。注意：這樣的邊可能不止一條。
問題歸結為如何判斷線段是否割圓。
矩形的左下頂點為 $(x_1, y_1)$，右上頂點為 $(x_2, y_2)$，圓心為 $(x, y)$，半徑為 $r$ 。
不失一般性，考慮矩形的底邊 $(x_1, y_1) , (x_2, y_1)$ 割圓的條件。
性質
在排除了矩形的某個頂點在圓內或圓心在矩形內的條件下，矩形的底邊上有點在圓內當且僅當其餘邊的情形是類似的。$x_1 < x < x_2$ 且 $|y - y_1| \le r$ 。
此時應當注意到：
矩形上距離圓周最近的點必然在邊界上。
矩形邊界上任意一點 $p$ 到圓周的最短距離為 $|pc| - r$，$|pc|$ 表示 $p$ 到圓心 $c$ 的距離。
問題歸結為求圓心 $c$ 到矩形邊界的最短距離，亦即點到線段的最短距離。
備選的點（candidates）是圓心在四條邊所在的直線上的垂直投影（即垂足）與邊的端點。
如果「圓心在矩形的某條邊所在的直線上的垂直投影」落在這條邊上則此投影點是這條邊上的備選點，否則這條邊的兩端點是這條邊上的備選點。
（這一部分內容還在建設中）
首先假設我們想要的座標變換是乙個線性變換。
任取矩形的乙個頂點 $a$，作為此線性變換的不動點。設 $a$ 的座標為 $(x_a, y_a)$ 。
任取 $a$ 的乙個鄰點 $b$，使得 $\vec$ 是變換過後的 $x$ 軸正方向，亦即 $b$ 變換過後的座標為 $(x_a + |ab|, y_a)$，$|ab|$ 表示線段 $ab$ 的長度。
問題歸結為求點到線段的最短距離。
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