演算法設計 矩陣連乘問題

白天什麼也沒學，晚上才終於拿著筆，對著**，寫寫畫畫，終於看明白是怎麼計算的了。

以這6個矩陣連乘作為例子

a1a2

a3a4

a5a6

30*35

35*15

15*5

5*10

10*20

20*25

1 首先，要明白兩個矩陣相乘所需要做的乘法次數：

2 由於連乘的矩陣必須滿足，前乙個矩陣的列數=後乙個矩陣的行數，所以可以使用乙個陣列來儲存連乘矩陣的行列數：

p[7]=；

3 分析最優解的結構：

a[i:j]表示矩陣i到矩陣j的連乘，那麼a[i:j]=a[i:k]+a[k+1:j]+p[i-1]*p[k]*p[j]（這兩個矩陣相乘所需的乘法次數）；

如果a[i:j]的所需要的乘法次數是最少的，那麼a[i:k]和a[k+1:j]所需要的乘法次數也應該是最少的，否則a[i:j]就不是最優的，所以滿足最優子結構性質；

4 建立遞迴關係：

m[i][j]表示矩陣i連乘到矩陣j的最少乘次數，那麼原問題的最優值是m[1,n]；

當i=j時，為單個矩陣，m[i][i]=0；

當i獲得以下遞迴定義： 

m[i][j]=0;    i=j

m[i][j]=mini<=k;  i如果需要得出最優解的加括號結果，需要另乙個二維陣列s[i][j]，用於記錄使m[i][j]獲得最優解的斷點，k值；

5 分析**

1

int m[8][8]=,s[8][8]=;23
void maxtrixchain(int *p,int
n)17}18
}19 }

我們先暫時只看下面這部分**：

具體用資料分析一下

把右圖補充完整，將得到以下結果：這是我理解的自底向上地計算；

接下來看另一部分**：

所以我們需要把這兩部分**結合起來使用：

那麼對於m[1][4]我們是列舉了所有加括號的可能情況，並儲存了其中最小的乙個，獲得了最優值；

那麼對於m[2][5]、m[3][6]也能得到最優值；並且沒有做任何重複計算；

當r=5時，m[1][5]、m[2][6]也能得到最優值；

當r=6時，m]1][6]也能得到最優值；如此就得到了原問題的最優解；

每一次得到更小值的時候，s[i][j]=k，記錄（更新）這個斷點情況；最後可以用來幫助構造最優解的加括號形式；

6 以下給出完整源**：

1 #include2

using
namespace
std;34
//矩陣連乘：完全加括號問題5//
a1(p1*p2)，a2(p2*p3)，兩個矩陣相乘，總乘法次數為p1*p2*p3，其中p2表示結果的每個元素所需要的乘法次數6//
m[i][j]表示，第i個矩陣到第j個矩陣的連乘，所需要的乘法次數7//
對於多個矩陣連乘，可以得出以下遞推式8//
m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]9//
問題是如何找到這個k，使乘法次數最少
10int m[7][7]=; //
m[i][j]用於儲存，第i個矩陣連乘到第j個矩陣的乘法次數，那麼m[1][n]為最終結果
11int s[7][7]=; //
s[i][j]用於儲存，矩陣i和矩陣j之間所取的斷點，k值，用於構造結果的加括號情況
1213
void matrixchain(int n,int
p)31}32
33}34}
35}3637
//利用s[i][j]進行構造連乘的加括號情況
38void traceback(int i,int
j)45
46int
main();
48int n=6;49
matrixchain(n,arr);
50 traceback(1
,n);
51 cout<1][n]<
52 system("
pause");
53return0;
54 }

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