函式是無窮維的向量。平面幾何裡一大堆定義、定理、等式、不等式，在函式空間裡都是適用的。比如著名的施瓦茲-柯西不等式，不過是平面三角裡|cos(t)| <= 1 的推廣而已。
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微積分是解決「見微知著」、「管中窺豹」的問題。通過研究區域性的簡單問題，把握全域性性的複雜問題。其間的橋梁就是牛-萊公式。在外微分形式下，奧高公式和斯托克斯公式都是牛-萊公式，也就是說，1、2、3維牛-萊公式，用乙個形式簡單的格林公式可以把大學微積分課程裡全部內容給概括出來。
微分方程是描述那個「區域性的簡單問題」的方程，其本質是乙個區域性規則的描述。因為可以做很多線性的假設，所以這個區域性規則相對而言容易找到，因此很多學科能列出微分方程。但是只有解微分方程才能把握整體性質，而解微分方程不容易。
林群院士說，每一門學科都對應乙個微分方程。
區域性的問題好解決，而大量區域性問題解決了，其結果積累起來，就能達成全域性目標。演算法就是這樣。特別是遞迴和迭代演算法，乙個遞迴/迭代過程本身就是乙個區域性規則，其意義跟微分方程是一樣的。所以很多本來是在微分方程理論裡發現的定理，比如不動點定理，也用在了計算理論中。計算遞迴演算法複雜度也要可能用到微分方程理論。
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兩個向量的點積，等於乙個向量在另乙個向量上的投影長度，等於兩個向量對應座標分量之積的代數和。這件事情太奇妙了，即使很容易可以證明，我還是覺得很奇妙，怎麼會有這樣妙的性質呢？
乙個向量對應一條有向線段，一組向量對應一組有向線段。乙個非奇異矩陣呢，是否可以說對應乙個n維空間的一組向量，而這組向量構成乙個座標系。乙個向量乘乙個矩陣，就是求這個向量在那個矩陣所代表的新的座標系各個軸線上的投影組成的新的向量。也可以說，矩陣是乙個向量變換器。對於乙個非奇異矩陣來說，有些向量特別有意思，它們在這個座標系裡的投影組成的新的向量，正好是原來向量的lambda倍。也就是說，經過矩陣這個向量變換器的變換，原來的向量跟乘了個實數lambda沒啥分別。所以這個lambda就刻畫了這個矩陣的某種特徵，叫做矩陣的特徵值。
矩陣乘矩陣，就是一組向量在另一組向量張成的座標系裡的投影值。正交矩陣，就是這樣的乙個矩陣，它自己在自己身上投影，投影出來的結果是乙個單位矩陣i。什麼時候才會出現這種情況呢？當然只有這個矩陣所代表的向量組裡，所有向量兩兩垂直，才會出現在這種情況。所以叫「正交矩陣」，名字不是隨便起的。
數學與演算法
求和運算的例子 我們需要求解1,2 3,n 1,2,3,n 1,2,3,n個數的和。常用解法 def sum n n ret sum 0for i in range 1 n 1 ret sum ret sum i return ret sum我們知道在數學中1,2 3,n 1,2,3,n 1,2,3...
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數學與演算法 摘自水木
演算法研究的本質特點之一是面向具體問題，有問題才有了對應的演算法。而數學的特點之一是系統性和完整性，不是為了某個具體的問題才去研究什麼，反而經常是早已把某個問題研究透徹了才發現它的應用。知識學習有3個階段，第一階段只是知道字面的意思，第二階段是理解，第三階段是領悟。前兩個階段只是被動學習別人創造的東...