二。求點：
23.計算點到線段的最近點：
如果該線段平行於x軸（y軸），則過點point作該線段所在直線的垂線，垂足很容易
該線段不平行於x軸也不平行於y軸，則斜率存在且不為0。設線段的兩端點為pt1和pt2，
斜率為：k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x );該直線方程為：y = k* ( x -
pt1.x) + pt1.y。其垂線的斜率為 - 1 / k，垂線方程為：y = (-1/k) * (x -
point.x) + point.y 。
聯立兩直線方程解得：x = ( k^2 * pt1.x + k * (point.y - pt1.y ) +
的端點返回。
24.計算點到折線、矩形、多邊形的最近點：
只要分別計算點到每條線段的最近點，記錄最近距離，取其中最近距離最小的點即
可。
25.計算點到圓的最近距離及交點座標：
如果該點在圓心，因為圓心到圓周任一點的距離相等，返回undefined。
連線點p和圓心o，如果po平行於x軸，則根據p在o的左邊還是右邊計算出最近點的橫
座標為centerpoint.x - radius 或 centerpoint.x + radius。如果po平行於y軸，則根
據p在o的上邊還是下邊計算出最近點的縱座標為 centerpoint.y -+radius或
centerpoint.y - radius。如果po不平行於x軸和y軸，則po的斜率存在且不為0，這時直
線po斜率為k = （ p.y - o.y ）/ ( p.x - o.x )。直線po的方程為：y = k * ( x -
p.x) + p.y。設圓方程為:(x - o.x ) ^2 + ( y - o.y ) ^2 = r ^2，聯立兩方程組可以
解出直線po和圓的交點，取其中離p點較近的交點即可。
26.計算兩條共線的線段的交點：
對於兩條共線的線段，它們之間的位置關係有下圖所示的幾種情況。圖(a)中兩條線
段沒有交點；圖 (b) 和 (d) 中兩條線段有無窮焦點；圖 (c) 中兩條線段有乙個交點。
設line1是兩條線段中較長的一條，line2是較短的一條，如果line1包含了line2的兩個端
點，則是圖(d)的情況，兩線段有無窮交點；如果line1只包含line2的乙個端點，那麼如
果line1的某個端點等於被line1包含的line2的那個端點，則是圖(c)的情況，這時兩線段
只有乙個交點，否則就是圖(b)的情況，兩線段也是有無窮的交點；如果line1不包含
line2的任何端點，則是圖(a)的情況，這時兩線段沒有交點。
27.計算線段或直線與線段的交點:
設一條線段為l0 = p1p2，另一條線段或直線為l1 = q1q2 ，要計算的就是l0和l1的
交點。
1． 首先判斷l0和l1是否相交（方法已在前文討論過），如果不相交則沒有交點，否則
說明l0和l1一定有交點，下面就將l0和l1都看作直線來考慮。
2． 如果p1和p2橫座標相同，即l0平行於y軸
a) 若l1也平行於y軸，
i. 若p1的縱座標和q1的縱座標相同，說明l0和l1共線，假如l1是直線的話他們
有無窮的交點，假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點
（該方法在前文已討論過）；
ii. 否則說明l0和l1平行，他們沒有交點；
b) 若l1不平行於y軸，則交點橫座標為p1的橫座標，代入到l1的直線方程中可以計算
出交點縱座標；
3． 如果p1和p2橫座標不同，但是q1和q2橫座標相同，即l1平行於y軸，則交點橫座標
為q1的橫座標，代入到l0的直線方程中可以計算出交點縱座標；
4． 如果p1和p2縱座標相同，即l0平行於x軸
a) 若l1也平行於x軸，
i. 若p1的橫座標和q1的橫座標相同，說明l0和l1共線，假如l1是直線的話他們
有無窮的交點，假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點
（該方法在前文已討論過）；
ii. 否則說明l0和l1平行，他們沒有交點；
b) 若l1不平行於x軸，則交點縱座標為p1的縱座標，代入到l1的直線方程中可以計算
出交點橫座標；
5． 如果p1和p2縱座標不同，但是q1和q2縱座標相同，即l1平行於x軸，則交點縱座標
為q1的縱座標，代入到l0的直線方程中可以計算出交點橫座標；
6． 剩下的情況就是l1和l0的斜率均存在且不為0的情況
a) 計算出l0的斜率k0，l1的斜率k1 ；
b) 如果k1 = k2
i. 如果q1在l0上，則說明l0和l1共線，假如l1是直線的話有無窮交點，假如l1
是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點（該方法在前文已討論
過）；
ii. 如果q1不在l0上，則說明l0和l1平行，他們沒有交點。
c) 聯立兩直線的方程組可以解出交點來
這個演算法並不複雜，但是要分情況討論清楚，尤其是當兩條線段共線的情況需要單獨
考慮，所以在前文將求兩條共線線段的演算法單獨寫出來。另外，一開始就先利用向量叉乘
判斷線段與線段（或直線）是否相交，如果結果是相交，那麼在後面就可以將線段全部看
作直線來考慮。需要注意的是，我們可以將直線或線段方程改寫為ax+by+c=0的形式，這
樣一來上述過程的部分步驟可以合併，縮短了**長度，但是由於先要求出引數，這種算
法將花費更多的時間。
28. 求線段或直線與折線、矩形、多邊形的交點：
分別求與每條邊的交點即可。
29. 求線段或直線與圓的交點:
設圓心為o，圓半徑為r，直線（或線段）l上的兩點為p1,p2。
1. 如果l是線段且p1，p2都包含在圓o內，則沒有交點；否則進行下一步。
2. 如果l平行於y軸，
a) 計算圓心到l的距離dis；
b) 如果dis > r 則l和圓沒有交點；
c) 利用勾股定理，可以求出兩交點座標，但要注意考慮l和圓的相切情況。
3. 如果l平行於x軸，做法與l平行於y軸的情況類似；
4. 如果l既不平行x軸也不平行y軸，可以求出l的斜率k，然後列出l的點斜式方程，
和圓方程聯立即可求解出l和圓的兩個交點；
5. 如果l是線段，對於2，3，4中求出的交點還要分別判斷是否屬於該線段的範圍
內。
計算幾何的演算法概覽 目錄篇
一 引言 計算機的出現使得很多原本十分繁瑣的工作得以大幅度簡化，但是也有一些在人們直 來很容易的問題卻需要拿出一套並不簡單的通用解決方案，比如幾何問題。作為計算 機科學的乙個分支，計算幾何主要研究解決幾何問題的演算法。在現代工程和數學領域，計 算幾何在圖形學 機械人技術 超大規模積體電路設計和統計等...
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剛寫了乙個計算幾何的模板，這樣可以減少很多的函式，實現起來也很清楚，以後自己就這樣寫好了 常用計算 define vector point struct point vector operator vector a,vector b vector operator vector a,vector b...
演算法筆記 計算幾何之點積叉積的應用
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