參考：王東生、曹磊編著，《混沌、分形及其應用》，中國科學技術大學出版社，
2023年
混沌（chaos
）是現代科學的重要概念，是非線性科學的乙個非常重要的內容。十九世紀末和二十世紀初，龐加萊和李雅譜諾夫等人的研究，奠定了混沌學的科學基礎，並激發了人們進一步探索有關的問題。混沌作為一門新興的科學，是人類在認識大自然中的不規則性方面的乙個舉足重輕的突破。它已滲透到全部科學之中，其對全部科學的影響（包括自然科學及社會科學乃至哲學）所起的作用相當於微積分在十九世紀對數理工程科學的影響。人們認為，「二十世紀科學將永遠銘記的只有三件事，那就是相對論、量子力學和混沌」。相對論消除了關於絕對空間與時間的幻象；量子力學消除了關於可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌則消除了拉普拉斯關於決定論式的可**性的幻想。
「混沌」是近代非常引人注目的熱點研究，它掀起了繼相對論和量子力學以來基礎科學的第三次革命。科學中的混沌概念不同於古典哲學和日常語言中的理解，簡單地說，混沌是一種確定系統中出現的無規則的運動。混沌理論所研究的是非線性動力學混沌，目的是要揭示貌似隨機的現象背後可能隱藏的簡單規律，以求發現一大類複雜問題普遍遵循的共同規律。
1963
年，lorenz
在《大氣科學》雜誌上發表了「決定性的非週期流」一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著一種聯絡，這就是非週期與不可預見性之間的聯絡。他還發現了混沌現象「對初始條件的極端敏感性」
。這可以生動的用「蝴蝶效應」來比喻：在做氣象預報時，只要乙隻蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就會在很遠的另乙個地方造成非常大的差異，將使長時間的**無法進行。
在60年代研究的基礎上，混沌學的研究開始進入高潮。
1971
年，科學家在耗散系統中正式的引入了奇異吸引子的概念（如
henon
吸引子[
見圖（1-1）]
、lorenz
吸引子[
見圖（2-2）]
。1975
年，j.york
和t.y lie
提出了混沌的科學概念。整個
70年代中期，人們不但在理論上對混沌做更深層次的研究，而且努力在實驗室中找尋奇異吸引子。
j.york
在他的著名**「週期
3意味著混沌」中，指出：在任何一維系統中，只要出現週期
3，則該系統也能出現其他長度的週期，也能呈現完全的混沌。
在確定性的系統中發現混沌，改變了人們過去一直認為宇宙是乙個可以**的系統的看法。用決定論的方程，找不到穩定的模式，得到的卻是隨機的結果，徹底打破了拉普拉斯決定論式的可**性的幻想。但人們同時發現到過去許多曾被認為是雜訊的訊號，其實是一些簡單的規則生成的。這些包含內在規則的「雜訊」不同於真正的雜訊，它們的這種規則是完全可以應用的。 圖（
1-1）
henon
吸引子
對於什麼是混沌，目前科學上還沒有確切的定義，但隨著研究的深入，混沌的一系列特點和本質的被揭示，對混沌完整的、具有實質性意義的確切定義將會產生。目前人們把混沌看成是一種無週期的有序。它包括如下特徵： 1．
混沌具有內在的確定性，它雖然貌似雜訊，但不同於雜訊，系統是由完全確定的方程描述的，無需附加任何隨機因數，但系統仍會表現出類似隨機性的行為；
2．混沌具有分形的性質，前面提到的
lorenz
吸引子，
henon
吸引子都具有分形的結構；
3．混沌具有標度不變性，是一種無週期的有序。在由分岔導致混沌的過程中，還遵從
feigenbaum
常數系。
4．混沌現象還具有對初始條件的敏感依賴性。只要初始條件稍有偏差或微小的擾動，則會使得系統的最終狀態出現巨大的差異。因此混沌系統的長期演化行為是不可**的。
傳統上，人們把訊號分為兩大類：
l確定性訊號
這種訊號所有時刻的波形都是確定的；
l隨機過程
它的波形由概率分布確定。 圖（
1-2）
logistic
對映與隨機雜訊
然而，這樣的分類忽略了另一類極為重要的訊號——混沌訊號。混沌訊號的波形是非常不規則的，表面上看來就象雜訊，但實際上它卻是由確定性的規則所產生的，這種規則有時是很簡單的。正是這種簡單的規則產生出複雜的波形激發了人們對它極大的興趣。在圖（
1-2）中，我們向大家展示了由
logistic
對映所生成的混沌訊號與白雜訊訊號，從表面上我們是無法判斷出雜訊與混沌的。讓人興奮的是：實踐證明，在大量的物理系統和自然系統中都存在著混沌訊號！雖然，混沌現象的出現使我們無法對系統的長期行為進行**，但是我們完全可以利用混沌的規律對系統進行短期的行為**，這樣比傳統的統計學方法更加有效。
混沌學在工程中的應用可以分為兩大類：
（1）合成混沌訊號：
生成類似雜訊的混沌訊號
（2）分析混沌訊號：
從某種現象中檢測混沌訊號是否存在。
在本文中，我們將主要討論第二個話題。檢測到混沌現象的存在，對我們更深刻的認識系統的特徵是極為有利的。在大多數情況下，當我們確認系統中存在混沌時，我們可以利用混沌學的原理，將混沌訊號從有用的訊號中濾除，從而達到改善訊雜比的結果，而這用傳統的濾波方法有時或許是無效的。
天然存在的系統（物理系統、化學系統或生物系統）能呈現混沌，這一點目前已得到普遍共識，並引起了許多學者在實驗室裡或在自然狀況下對混沌識別進行嘗試。然而在實驗系統裡，雜訊會與決定系統演化的內在方程所支配的動力學特性發生相互作用，故實驗系統肯定會有隨機輸入，從而給混沌的識別帶來了許多困難。下面我們簡要的介紹現今用來識別混沌的幾種不同的方法。
功率譜
最為人們所熟識且應用最多的一種表徵複雜時間序列特性的統計量是功率譜（
power spectrum
），它把複雜的時間序列分解成不同頻率的正弦振盪的疊加。在給定頻率處的功率譜值與頻率的正弦波係數的平方成正比。典型的功率譜由乙個或多個尖峰，它們對應於訊號中出現的主要頻率。除這些主峰外，其他頻率也可能出現，不過幅度較低，而且功率譜通常分布在乙個寬頻帶上。
寬頻帶功率譜（多半具有疊加尖峰）往往與混沌動態相聯絡。但不幸的是，「雜訊」也與寬頻譜密切相關，因而出現寬頻譜並不足以確認與雜訊相對的混沌。
相空間重構
混沌的產生是系統整體穩定性和區域性不穩定性共同作用的結果，區域性的不穩定性使它具有對初值的敏感性，而整體的穩定性則使它在相空間（又稱狀態空間）表現出一定的分形結構，這種結構被稱為混沌吸引子。正是這種精密的吸引子結構，使我們可以利用它來達到分辨雜訊與混沌的目的，因為真正的雜訊在相空間中仍然表現出一團糟的情況。相空間重構技術是一種簡單而實用的技術，但它依然有著極大的侷限性。這是因為使用相空間技術來觀察吸引子的結構，依靠的是人眼的辨別，當吸引子的維數高於三維時，我們將束手無策。另外，並非所有的混沌現象都存在著混沌吸引子（如
logist
對映）。
李雅譜諾夫指數和維數
有關非線性動力學的研究工作已提出了一些定量刻劃複雜動力學性態的量度。其中兩個最常用的量是李雅譜諾夫指數（
lyapunov exponent
）和維數（
dimension
），它們分別量度動力學性態的規則性程度和幾何結構。李雅譜諾夫指數描述了系統軌跡收斂或發散的比率，當乙個系統中同時存在正的和負的李雅譜諾夫指數時，便意味著混沌的存在。事實上李雅譜諾夫指數的重要作用之一就是判斷系統的混沌行為。我們這裡的維數是指的混沌吸引子所具有的分數維維數。在相空間中維數反映描述了在相空間中運動所需要的不多不少的變數個數，而在吸引子中維數則說明了刻畫該吸引子所必需的資訊量。
混沌現象簡介
參考 王東生 曹磊編著，混沌 分形及其應用 中國科學技術大學出版社，1995 年混沌 chaos 是現代科學的重要概念，是非線性科學的乙個非常重要的內容。十九世紀末和二十世紀初，龐加萊和李雅譜諾夫等人的研究，奠定了混沌學的科學基礎，並激發了人們進一步探索有關的問題。混沌作為一門新興的科學，是人類在認...
混沌筆記 混沌現象的定義
混沌現象的定義 混沌理論證明，在世界上發生的具有如下特徵的事件均屬混沌事件，即混沌現象。1.lorenz 蝴蝶效應現象 lorenz蝴蝶效應現象，是指事物發展的結果對初始條件具有極為敏感的依賴性.初始條件極小的偏差將會引起結果的巨大差異。在政治 經濟 軍事 自然 社會等諸多領域均有lorenz蝴蝶效...
混沌理論簡介
北京的乙隻蝴蝶拍了一下翅膀，竟引起加勒比海的颶風？上公升的香菸柱如何破碎成繚亂的旋渦？旗幟如何在風中前後飄拂？龍頭滴水如何從穩定樣式變成隨機樣式？在混沌理論出現後，你已經不能再用傳統的眼光和簡單的因果關係去理解這個世界了。混沌現象在人們的生活中無處不在！它出現在大氣和海洋的湍流中，它出現在飛機的飛翔...