Bresenham直線演演算法

法，它會算出一條線段在 n 維光柵上最接近的點。這個演演算法只會用到較為快速的整數加法、減法和位元移位，常用於繪製電腦畫面中的直線。是計算機圖形學中最先發展出來的演演算法。

經過少量的延伸之後，原本用來畫直線的演演算法也可用來畫圓。且同樣可用較簡單的算術運算來完成，避免了計算二次方程式或三角函式，或遞迴地分解為較簡單的步驟。

以上特性使其仍是一種重要的演演算法，並且用在繪圖儀、繪圖卡中的繪圖晶元，以及各種圖形程式庫。這個演演算法非常的精簡，使它被實作於各種裝置的韌體，以及繪圖晶元的硬體之中。

bresenham直線演演算法描繪的直線。

假設我們需要由 (x

y0) 這一點，繪畫一直線至右下角的另一點(x

y1)，x,y分別代表其水平及垂直座標。在此我們使用電腦系統常用的座標系，即x座標值沿x軸向右增長，y座標值沿y軸向下增長。

因此x及y之值分別向右及向下增加，而兩點之水平距離為x1x

0且垂直距離為y

1-y0。由此得之，該線的斜率必定介乎於1至0之間。而此演算法之目的，就是找出在x0與x

1之間，第x行相對應的第y列，從而得出一畫素點，使得該畫素點的位置最接近原本的線。

對於由(x

y0)及(x

y1)兩點所組成之直線，公式如下：

因此，對於每一點的x，其y的值是

因為x及y皆為整數，但並非每一點x所對應的y皆為整數，故此沒有必要去計算每一點x所對應之y值。反之由於此線之斜率介乎於1至0之間，故此我們只需要找出當x到達那乙個數值時，會使y上公升1，若x尚未到此值，則y不變。至於如何找出相關的x值，則需依靠斜率。斜率之計算方法為m1y

0) / (x1x

0)。由於此值不變，故可於運算前預先計算，減少運算次數。

要實行此演算法，我們需計算每一畫素點與該線之間的誤差。於上述例子中，誤差應為每一點x中，其相對的畫素點之y值與該線實際之y值的差距。每當x的值增加1，誤差的值就會增加m。每當誤差的值超出0.5，線就會比較靠近下乙個映像點，因此y的值便會加1，且誤差減1。

下列偽程式碼是這演算法的簡單表達（其中的plot(x,y)繪畫該點，abs返回的是絕對值）。雖然用了代價較高的浮點運算，但很容易就可以改用整數運算（詳見最佳化一節）：

functionline(x0, x1, y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := y1 - y0
real error := 0
real deltaerr := deltay / deltax // 假設 deltax != 0 （非垂直線），
// 注意：需保留除法運算結果的小數部份
int y := y0
forxfromx0tox1
plot(x,y)
error := error + deltaerr
ifabs(error) ≥ 0.5then
y := y + 1
error := error - 1.0

雖然以上的演演算法只能繪畫由右上至左下，且斜率小於或等於1的直線，但我們可以擴充套件此演演算法，使之可繪畫任何的直線。第乙個擴充套件是繪畫反方向，即由左下至右上的直線。這可以簡單地透過在x0 > x1時交換起點和終點來做到。第二個擴充套件是繪畫斜率為負的直線。可以檢查y0y

xy，並一併將plot的引數順序交換。擴充套件後的偽程式碼如下：

functionline(x0, x1, y0, y1)
boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
ifsteepthen
swap(x0, y0)
swap(x1, y1)
ifx0 > x1then
swap(x0, x1)
swap(y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := abs(y1 - y0)
real error := 0
real deltaerr := deltay / deltax
int ystep
int y := y0
ify0 < y1thenystep := 1elseystep := -1
forxfromx0tox1
ifsteepthenplot(y,x)elseplot(x,y)
error := error + deltaerr
iferror ≥ 0.5then
y := y + ystep
error := error - 1.0

以上的程式可以處理任何的直線，實作了完整的bresenham直線演演算法。

以上的程式有乙個問題：電腦處理浮點運算的速度比較慢，而error與deltaerr的計算是浮點運算。此外，error的值經過多次浮點數加法之後，可能有累積誤差。使用整數運算可令演演算法更快、更準確。只要將所有以上的分數數值乘以deltax，我們就可以用整數來表示它們。唯一的問題是程式中的常數0.5—我們可以透過改變error的初始方法，以及將error的計算由遞增改為遞減來解決。新的程式如下：

functionline(x0, x1, y0, y1)
boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
ifsteepthen
swap(x0, y0)
swap(x1, y1)
ifx0 > x1then
swap(x0, x1)
swap(y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := abs(y1 - y0)
int error := deltax / 2
int ystep
int y := y0
ify0 < y1thenystep := 1elseystep := -1
forxfromx0tox1
ifsteepthenplot(y,x)elseplot(x,y)
error := error - deltay
iferror < 0then
y := y + ystep
error := error + deltax

jack e. bresenham於2023年在ibm發明了此演演算法。據他本人表示，他於2023年在丹佛舉行的美國計算機協會全國大會上發表了該演演算法，論文則登載於2023年的《ibm系統期刊》 (ibm systems journal) 之中。[1]

bresenham直線演演算法其後被修改為能夠畫圓，修改後的演演算法有時被稱為「bresenham畫圓演演算法」或中點畫圓演演算法。

^dictionary of algorithms and data structures,

美國國家標準與技術研究院.http://www.nist.gov/dads/html/bresenham.html

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