公鑰與金鑰的產生
假設alice想要通過乙個不可靠的**接受bob的一條私人訊息。她可以用以下的方式來產生乙個公鑰和乙個私鑰：
隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等於q，計算n=pq
根據尤拉函式（r = φ(n)，其中r是小於或等於n的正整數中與n
互質的數的數目），求得r= φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)
選擇乙個小於r的整數e，求得e關於模r的模反元素，命名為d。所謂模反元素，即有這麼乙個整數d可以使得e×d≡1 mod r，相當於e×d = k×
r+1。相當於對乙個二元一次方程求解，即相當於計算ax+by=1，求解這個式子需要計算e和r的最小公約數相似原理的擴充套件歐幾里得演算法進行求解（計算）。可以參看維基百科的內容：擴充套件歐幾里得演算法。
將p和q的記錄銷毀
[n, e]是公鑰，[n, d]是私鑰。alice將公鑰[n, e]傳給bob，而將她的私鑰[n, d]藏起來。
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alice選擇的兩個質數分別為：p=17，q=23。則n=17×23=391。
r= φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) [p.s. 這裡由於p是質數，當然小於p的與p互質的數是p-1個
] 。得到r=368。
選擇乙個小於r的整數e=19，r=368，最大公約數為：相當於解乙個二元一次方程：19x+368y=1 。通過歐幾里得計算過程：
公鑰是[n,e]=[391,19], 私鑰就是[n,d]=[391, 155]
可是這樣子，為什麼私鑰可以保密呢？我們已知的是引數有 n和e，未知的引數有p,q,r,d,k。
如果要破解必須要私鑰d，而如果只知道公鑰要怎麼計算得到私鑰呢？我們要求解方程e×d = k×
r+1則必須要知道r，而知道r必須要知道p和q。知道p和q必須要將n進行因式分解。
大整數的因式分解是一件極其麻煩的事情，必須用暴力拆解。即使在知道因數就是質數的情況下，因為n可能會是幾百位上千位的。
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