而要解這個問題，使用窮舉或暴搜的方法顯然不可取。若要優雅而巧妙地解決這個問題，就需要用到乙個關於素數的著名結論——威爾遜定理（wilson's theorem）。
十八世紀中葉，一位英國法官約翰·威爾遜爵士，發現了數論中一種極為罕見的關係：
取從1到某個質數所有連續正整數的乘積，例如從1乘到11，即11的階乘11！，顯然，11！能被從1到11的所有整數整除。略去11，得10！。無疑10！不能被11整除。然而，如果給10！加上1的話，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＋1＝3628801，怎麼也不會想到，3628801卻能被11整除（3628801÷11＝329891）。類似地，從1到質數7的階乘7！中略去7，再加上1，得1×2×3×4×5×6＋1 = 721，721也能被7整除（721÷7＝103）。
11和7都是質數，研究發現，此種整除性對一切質數都成立，但對合數卻不成立。
把上面所說的加以推廣，就得到威爾遜定理：當且僅當 n 為質數時，(n－1)!＋1能被 n 整除。（逆定理也成立）
或者用公式表示為
威爾遜定理給出了判定乙個自然數是否為素數的充分必要條件。但是由於階乘是呈**增長的，其結論對於實際操作意義不大。威爾遜定理的第乙個證明是由拉格朗日給出的。
下面僅討論充分性的證明。即證明當 n 滿足上式時，n只能為素數。
首先，假設 n 不是素數，那麼令 n=a×b ，其中1 < a < n-1，1 < n < p-1。
若a≠b,因為 (n-1)!=1×2×...×a×...×b×...×n-1,
所以 (n-1)!≡ 0 (mod a)；(n-1)!≡ 0 (mod b)，以及 (p-1)!≡ 0 (mod a×b) ，
即 (n-1)!≡ 0 (mod n)。這與( n -1 )! ≡ -1 ( mod n ) 矛盾。
若a=b
, 因為(n-1)!=1×2×...×a×......×n-1，
所以(n-1)!≡ 0 (mod a) 以及
(n-1)!≡ 0 (mod 2a)。
注意，2×
a < a×
a=n，所以(n-1)!=1×2×...×a×...×2a×......×n-1
，可得(n-1)!≡ 0 (mod a×2a) => (n-1)!≡ 0 (mod a×a) ，即 (n-1)!≡ 0 (mod n)
這與( n -1 )! ≡ -1 ( mod n ) 矛盾。
所以 n 只能是素數，即充分性得證。
現在回過頭來看本文最初給出的問題。分兩種情況討論。
(1)3k+7為素數時，那麼由威爾遜定理可知
此時有（注意這裡中括號的意思已由題目中紅色方框標註的地方加以說明）
所以
(2)3k+7為合數時，那麼3k+7可以寫成3k+7=ab，那麼很明顯a和b在(3k+6)!中都會出現，所以
此時有所以解法就是篩出素數表，然後從0到10^6，判斷素數，是素數就等於前一項的值+1，不是素數就直接等於前一項的值，答案儲存到乙個陣列中即可。
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