威爾遜定理：當(
p -1 )!≡ p -1
≡ -1 ( mod p )
時，p為素數。
（即：p是質數，則(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p)）
綜合來說，就是：(
p -1 )! ≡ p -1 ≡ -1 ( mod p ) 當且僅當
p為素數。
證明如下
充分性：
當p不是素數，那麼令p=a*b ，其中1 < a < p-1 ,1 < b < p-1.
(1)若a≠b,
因為(p-1)!=1*2*...*a*...*b*...*p-1,
所以(p-1)!≡ 0 (mod a)
(p-1)!≡ 0 (mod b)
可得(p-1)!≡ 0 (mod a*b) ，
即 (p-1)!≡ 0 (mod p)
與( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 矛盾
(2)若a=b
因為(p-1)!=1*2*...*a*...*2a*...*p-1.
所以(p-1)!≡ 0 (mod a)
(p-1)!≡ 0 (mod 2a)
可得(p-1)!≡ 0 (mod a*2a) => (p-1)!≡ 0 (mod a*a) ，
即 (p-1)!≡ 0 (mod p)
與( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 矛盾
因此p只能是素數。
必要性：
當p為2，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立
當p為3，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立
對於p>=5，令m=.
對於a∈m，令n=
令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2
那麼t1*a∈n，t2*a∈n。
若t1*a≡t2*a (mod p) ，那麼|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。
因為|t1-t2|*a∈n，與n中元素不能被p除盡矛盾。
所以t1*a≡t2*a不成立。
那麼n中元素對p取模後形成的集合為.
設x*a ≡ 1 (mod p)。
當x=1時， x*a=a, 對p取模不為1，所以
不成立。
當x=p-1時，(p-1)*a=p*a-a, 對p取模不為1，所以不成立。
當x=a時，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。
綜上所述，x,a∈m，並且
當a不同時，x也隨之不同。
所以，m集合中每乙個元素a都能夠找到乙個與之配對的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).
(p-1)!=1*2*3*...p-1
=1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)
所以， (p-1)!≡1*(p-1) (mod p)
即，(p-1)!≡-1 (mod p)
證明完畢
威爾遜定理證明
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