數學之美貝塞爾曲線

自從上個世紀60年代，雷諾汽車公司第一次把由手工設計車體(粘土)的任務轉到由計算機來完成，二維的貝塞爾曲線就成了計算機圖形學中最有用的曲線之一(繼直線和橢圓之後)。在postscript中，所有曲線都用貝塞爾曲線表示——橢圓線也用貝塞爾曲線來逼近，貝塞爾曲線也用於定義postscript字型的字元輪廓。今天的我們要感謝pierm bezier，是他通過一些數學的計算和推導，最後找到了這套近乎完美的曲線公式，它的作用毫不遜於數學當中另乙個奇蹟——**分割點。不僅僅如此，其實自然界中，看似紛繁複雜的萬事萬物沒有哪乙個不蘊含著它自身的規律，或許它們就是乙個乙個完美的奇蹟，等著用數學去發現。

貝塞爾曲線之所以被廣泛的應用於計算機的輔助設計，是因為貝塞爾樣條(公式)具有以下幾個重要的特點：

第一，貝塞爾樣條常常比較具有美感，這是乙個公認的主觀評價；

第二，經過不斷的調整，貝塞爾樣條可以逼近任意的形狀；

第三，貝塞爾樣條總是由其兩個端點開始和結束的，因此它非常好控制；

第四，貝塞爾樣條沒有奇點，這在計算機的設計中是非常重要的。事實上，貝塞爾曲線總是受限於由端點和控制點連線而成的四邊形(稱作「凸包」)。

第五，貝塞爾曲線總是與第乙個控制點到起點的直線相切，並保持同一方向；同時，也與第二個控制點到終點的直線相切，並保持同一方向。

一條二維的貝塞爾樣條是由4個點定義的，兩個端點和兩個控制點。假設起點是(x0,y0)，終點是(x3,y3)，兩個控制點分別是(x1,y1)和(x2,y2)，下面是貝塞爾樣條的引數方程：

x(t) = (1-t)3x0 + 3t(1-t)2x1+ 3t2(1-t)x2 + t3x3

y(t) = (1-t)3y0 + 3t(1-t)2y1+ 3t2(1-t)y2 + t3y3

其中，t 的值從0到1變化，這樣就可以畫出曲線。

在實際的程式設計中，即使不知道上面的公式也可以使用貝塞爾樣條。在window api中，有現成的函式供呼叫，利用該函式可以畫一條或多條連線的貝塞爾樣條：polybezier(hdc,apt,icount)。這個函式中，hdc是裝置描述表控制代碼；apt是point結構的陣列，前四個點依次給出貝塞爾曲線的起點、第乙個控制點、第二個控制點和終點，此後的每一條貝塞爾曲線只需給出三個點，因為後一條貝塞爾曲線的起點就是前一條貝塞爾曲線的終點，如此類推；icount是陣列中點的個數，它的值等於1加上所繪製的曲線條數的三倍。

另外要注意，在畫一系列的貝塞爾樣條時，只有當第一條貝塞爾曲線的第二個控制點、第一條貝塞爾曲線的終點(也是第二條貝塞爾曲線的起點)和第二條貝塞爾曲線的第乙個控制點線性相關時，也就是這三個點在同一條直線上時，曲線在連線點處才是光滑的。

下面是乙個互動式的程式，利用上面的這個函式畫了一條二維的貝塞爾曲線。程式中，這條貝塞爾曲線的兩個控制點，可以通過按住滑鼠左鍵或右鍵拖動滑鼠分別進行改動。程式的原始碼如下：

///
// bezier.c檔案
#include 
lresult callback wndproc(hwnd,uint,wparam,lparam);
void drawbezier(hdc hdc,point apt);
int winapi winmain(hinstance hinstance,hinstance hprevinstance,
lpstr lpcmdline,int nshowcmd)
return msg.wparam;
}lresult callback wndproc(hwnd hwnd,uint message,wparam wparam,lparam lparam)
if(wparam & mk_rbutton)
selectobject(hdc,getstockobject(black_pen));
drawbezier(hdc,apt); //使用黑色的筆重新畫
releasedc(hwnd,hdc);
} return 0;
case wm_paint:
invalidaterect(hwnd,null,true);
hdc = beginpaint(hwnd,&ps);
drawbezier(hdc,apt);
endpaint(hwnd,&ps);
return 0;
case wm_destroy:
postquitmessage(0);
return 0;
} return defwindowproc(hwnd,message,wparam,lparam);
}void drawbezier(hdc hdc,point apt)

數學之美 貝塞爾曲線

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