解題筆記(37) Catalan數計算及應用

2021-05-28 02:53:21 字數 3594 閱讀 6734

問題描述:卡塔蘭數,是組合數學

中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入乙個整數n,計算h(n)。其遞迴式如下:

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2,h(0) = h(1) = 1)

該遞推關係的解為:

h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

思路:直接根據遞迴式,寫出相應的演算法

。參考**:

//函式功能: 計算catalan的第n項

//函式引數: n為項數

//返回值: 第n個catalan數

int catalan(int n)

int result = h[n]; //儲存結果

delete h; //注意釋放空間

return result;

}

應用1描述:n對括號有多少種匹配方式?

思路:n對括號相當於有2n個符號,n個左括號、n個右括號,可以設問題的解為f(2n)

。第0個符號肯定為左括號,與之匹配的右括號必須為第2i+1字元。因為如果是第2i個字元,那麼第0個字元與第2i個字元間包含奇數個字元,而奇數個字元是無法構成匹配的。

通過簡單分析,f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下,f(0) * f(2n-2)表示第0個字元與第1個字元匹配,同時剩餘字元分成兩個部分,一部分為0個字元,另一部分為2n-2個字元,然後對這兩部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0個字元與第3個字元匹配,同時剩餘字元分成兩個部分,一部分為2個字元,另一部分為2n-4個字元。依次類推。

假設f(0) = 1,計算一下開始幾項,f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式,不難發現f(2n) 等於h(n)

應用2描述:矩陣鏈乘: p=a1×a2×a3×……×an,依據乘法結合律,不改變其順序,只用括號表示成對的乘積,試問有幾種括號化的方案?

思路:可以這樣考慮,首先通過括號化,將p分成兩個部分,然後分別對兩個部分進行括號化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。

設n個矩陣的括號化方案的種數為f(n),

那麼問題的解為

f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分,然後分別括號化。

計算開始幾項,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞迴式,不難發現f(n)等於h(n-1)

應用3描述:乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,…,n,有多少個不同的出棧序列?

思路:這個與加括號的很相似,進棧操作相當於是左括號,而出棧操作相當於右括號。n個數的進棧次序和出棧次序構成了乙個含2n個數字的序列。第0個數字肯定是進棧的數,這個數相應的出棧的數一定是第2i+1個數。因為如果是2i,那麼中間包含了奇數個數,這奇數個肯定無法構成進棧出棧序列。

設問題的解為f(2n), 那麼f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0個數字進棧後立即出棧,此時這個數字的進棧與出棧間包含的數字個數為0,剩餘為2n-2個數。f(2)*f(2n-4)表示第0個數字進棧與出棧間包含了2個數字,相當於1 2 2 1,剩餘為2n-4個數字。依次類推。

假設f(0) = 1,計算一下開始幾項,f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式,不難發現f(2n) 等於h(n)

應用4描述:n個節點構成的二叉樹,共有多少種情形?

思路:可以這樣考慮,根肯定會占用乙個結點,那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式,t(0, n-1),t(1, n-2),...t(n-1, 0),設t(i, j)表示根的左子樹含i個結點,右子樹含j個結點。

設問題的解為f(n),那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1,那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式,不難發現f(n)等於h(n)

應用5描述:在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

思路:以其中乙個點為基點,編號為0,然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號為0相連點的編號一定是奇數,

否則,這兩個編號間含有奇數個點,勢必會有個點被孤立,即在一條線段的兩側分別有乙個孤立點,從而導致兩線段相交。設選中的基點為a,與它連線的點為b,那麼a和b將所有點分成兩個部分,一部分位於a、b的左邊,另一部分位於a、b的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。

設問題的解f(n),那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連,此時位於它們右邊的點的個數為0,而位於它們左邊的點為2n-2。依次類推。

f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞迴式,不難發現f(2n) 等於h(n)

應用6描述:求乙個凸多邊形區域劃分成三角形區域的方法數?

思路:以凸多邊形的一邊為基,設這條邊的2個頂點為a和b。從剩餘頂點中選1個,可以將凸多邊形分成三個部分,中間是乙個三角形,左右兩邊分別是兩個凸多邊形,然後求解左右兩個凸多邊形。

設問題的解f(n),其中n表示頂點數,那麼f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三個相鄰的頂點構成乙個三角形,那麼另外兩個部分的頂點數分別為2和n-1。

設f(2) = 1,那麼f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。結合遞推式,不難發現f(n) 等於h(n-2)

應用7描述:有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票,另外n人只有10元鈔票,劇院無其它鈔票,問有多少中方法使得只要有10元的人買票,售票處就有5元的鈔票找零?

思路:可以將持5元買票視為進棧,那麼持10元買票視為5元的出棧。這個問題就轉化成了棧的出棧次序數。由應用三的分析直接得到結果,f(2n) 等於h(n)

Catalan數計算及應用

問題描述 卡塔蘭數,是組合數學 中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入乙個整數n,計算h n 其遞迴式如下 h n h 0 h n 1 h 1 h n 2 h n 1 h 0 其中n 2,h 0 h 1 1 該遞推關係的解為 h n c 2n,n n 1 n 1,2,3,思路 直接根據遞迴式,...

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問題描述 卡塔蘭數,是組合數學 中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入乙個整數n,計算h n 其遞迴式如下 h n h 0 h n 1 h 1 h n 2 h n 1 h 0 其中n 2,h 0 h 1 1 該遞推關係的解為 h n c 2n,n n 1 n 1,2,3,思路 直接根據遞迴式,...

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