最長不降子串行 NlogN解法

這是乙個很好的題目。題目的演算法還是比較容易看出來的，就是求最長上公升子串行的長度。不過這一題的資料規模最大可以達到40000，經典的o(n^2)的動態規劃演算法明顯會超時。我們需要尋找更好的方法來解決是最長上公升子串行問題。

先回顧經典的o(n^2)的動態規劃演算法：

設a[i]表示序列中的第i個數，f[i]表示從1到i這一段中以i結尾的最長上公升子串行的長度，初始時設f[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(a))。則有動態規劃方程：f[i] = max (j = 1, 2, ..., i - 1, 且a[j] < a[i])。

現在，我們仔細考慮計算f[i]時的情況。假設有兩個元素a[x]和a[y]，滿足

(1)x < y < i (2)a[x] < a[y] < a[i] (3)f[x] = f[y]

此時，選擇f[x]和選擇f[y]都可以得到同樣的f[i]值，那麼，在最長上公升子串行的這個位置中，應該選擇a[x]還是應該選擇a[y]呢？

很明顯，選擇a[x]比選擇a[y]要好。因為由於條件(2)，在a[x+1] ... a[i-1]這一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，則與選擇a[y]相比，將會得到更長的上公升子串行。

再根據條件(3)，我們會得到乙個啟示：根據f的值進行分類。對於f的每乙個取值k，我們只需要保留滿足f[i] = k的所有a[i]中的最小值。設d[k]記錄這個值，即d[k] = min (f[i] = k)。

注意到d的兩個特點：

(1) d[k]的值是在整個計算過程中是單調不上公升的。

(2) d的值是有序的，即d[1] < d[2] < d[3] < ... < d[n]。

利用d，我們可以得到另外一種計算最長上公升子串行長度的方法。設當前已經求出的最長上公升子串行長度為len。先判斷a[i]與d[len]。若a[i] > d[len]，則將a[i]接在d[len]後將得到乙個更長的上公升子串行，len = len + 1， d[len] = a[i]；否則，在d[1]..d[len]中，找到最大的j，滿足d[j] < a[i]。令k = j + 1，則有d[j] < a[i] <= d[k]，將a[i]接在d[j]後將得到乙個更長的上公升子串行，同時更新d[k] = a[i]。最後，len即為所要求的最長上公升子串行的長度。

在上述演算法中，若使用樸素的順序查詢在d[1]..d[len]查詢，由於共有o(n)個元素需要計算，每次計算時的複雜度是o(n)，則整個演算法的時間複雜度為o(n^2)，與原來的演算法相比沒有任何進步。但是由於d的特點(2)，我們在d中查詢時，可以使用二分查詢高效地完成，則整個演算法的時間複雜度下降為o(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，d在演算法結束後記錄的並不是乙個符合題意的最長上公升子串行！

這個演算法還可以擴充套件到整個最長子序列系列問題，整個演算法的難點在於二分查詢的設計，需要非常小心注意。

補充：1：下面程式的f陣列在此題中沒有用到，它是用來儲存每個從1--i的最長不降子串行。

2：此程式雖然很快，但是它卻丟掉了普通演算法的一些優勢，就是：我們如果要把最長的子串行找出來，那麼就是十分的困難的啦，因為我們把原有的資料在work的時候給覆蓋了，其它的方面還是十分的滿意。

【參考程式】：

#include

#include

#include

intf

[100001],a

[100001],c

[100001

];int n,

size;

intbsearch(int

ai)}

intmain()

for (inti=

1;i<=n;i

++) scanf("%d",&

a[i]);f[

1]=1;c[1

]=a[

1];size=1;

for (inti=

2;i<=n;i

++)printf("%d/n"

,size);

system("pause");

return0;}

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