最長不降子串行

原文這題目是經典的dp題目，也可叫作lis（longest increasing subsequence）最長上公升子串行或者最長不下降子串行。很基礎的題目，有兩種演算法，複雜度分別為o(n*logn)和o(n^2) 。

一．問題描述

設有由n個不相同的整數組成的數列，記為:

a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)

例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。

二．演算法分析

（一）。根據動態規劃的原理，由後往前進行搜尋。

1·對a(n)來說，由於它是最後乙個數，所以當從a(n)開始查詢時，只存在長度為1的不下降序列；

2·若從a(n-1)開始查詢，則存在下面的兩種可能性：

①若a(n-1)②若a(n-1)>a(n)則存在長度為1的不下降序列a(n-1)或a(n)。

3·一般若從a(i)開始，此時最長不下降序列應該按下列方法求出:

在a(i+1),a(i+2),…,a(n)中，找出乙個比a(i)大的且最長的不下降序列，作為它的後繼。倒推公式為

f（i）=max+1

f[i]：表示以第i個位置為起點的最長不下降序列的長度。

k的選擇範圍：a(i+k)>a(i) i+k≦n

最後從f[1]到f[n]中選取最大的即為最優解

當然也可以採用順推的方法，順推公式為

f（i）=max+1

f[i]：表示以第i個位置為終點的最長不下降序列的長度。

k的選擇範圍：a(i-k)最後從f[1]到f[n]中選取最大的即為最優解

4·為演算法上的需要，定義乙個陣列（倒推法）

整數型別二維陣列d（n，3）

d（i，1）表示點a（i）

d（i，2）表示從i位置到達n的最長不下降序列長度

d（i，3）表示從i位置開始最長不下降序列的下乙個數字的位置，以便列印。

初始化:

for i = 1 to n

input #1, d(i, 1)

d(i, 2) = 1

d(i, 3) = 0

next i

#include using namespacestd;
int main(void)
for(max=i=0;imax)
max=b[i];
cout}
return 0}

#include using namespacestd;
int find(int *a,int len,int n)//若返回值為x,則a[x]>=n>a[x-1]
returnleft; 
}void fill(int *a,intn)
int main(void)
for(max=i=0;imax)
max=b[i];
cout}
return 0;
}

對於這段程式，我們可以用演算法導論上的loop invariants來幫助理解. loop invariant:

1、每次迴圈結束後c都是單調遞增的。(這一性質決定了可以用二分查詢）

2、每次迴圈後，c[i]總是儲存長度為i的遞增子串行的最末的元素，若長度為i的遞增子串行有多個，剛儲存末尾元素最小的那個.（這一性質決定是第3條性質成立的前提）

3、每次迴圈完後，b[i]總是儲存以a[i]結尾的最長遞增子串行。 initialization:

1、進入迴圈之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均為1000,c是單調遞增的;

2、進入迴圈之前，c[1]=a[0],儲存了長度為1時的遞增序列的最末的元素，且此時長度為1的遞增了序列只有乙個，c[1]也是最小的; 3、進入迴圈之前，b[0]=1，此時以a[0]結尾的最長遞增子串行的長度為1. maintenance:

1、若在第n次迴圈之前c是單調遞增的，則第n次迴圈時，c的值只在第6行發生變化，而由c進入迴圈前單調遞增及find函式的性質可知（見find的注釋),此時c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新為a[i]後，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性質仍然成立，即c仍然是單調遞增的；

2、迴圈中，c的值只在第6行發生變化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新為a[i]後，c[j]的值只會變小不會變大，因為進入迴圈前c[j]的值是最小的，則迴圈中把c[j]更新為更小的a[i]，當然此時c[j]的值仍是最小的;

3、迴圈中，b[i]的值在第7行發生了變化，因為有loop invariant的性質2，find函式返回值為j有：c[j-1]c[j-1]是小於a[i]的，且以c[j-1]結尾的遞增子串行有最大的長度，即為j-1,把a[i]接在c[j-1]後可得到以a[i]結尾的最長遞增子串行，長度為(j-1)+1=j; termination:迴圈完後，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]結尾的最長遞增子串行的長度均已求出，再通過第8行的迴圈，即求出了整個陣列的最長遞增子串行。

仔細分析上面的**可以發現，每次迴圈結束後，假設已經求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，則此時最長遞增子串行的長度為len,因此可以把上面的**更加簡化，即可以不需要陣列b來輔助儲存，第8行的迴圈也可以省略。

#include using namespacestd;
int find(int *a,int len,int n)//修改後的二分查詢，若返回值為x，則a[x]>=n
returnleft;
}int main(void)
cout}
return 0;
}

比較一點的實現：

#include #include using namespacestd;
const int n = 1001;
int a[n], c[n], f[n]; // f[i]用於記錄a[0最長不降子串行i]的最大長度
int bsearch(const int *c, int size, const int &a) 
}int lis(const int *a, const int &n)
returnsize;
}int main(void)
return 0;
}

**：

最長不降子串行

最長不降子串行問題

最長不降子串行 dp

最長不降子串行（二）

最長不降子串行

最長不降子串行問題

最長不降子串行 dp

最長不降子串行（二）

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