一）巴什博奕（
bash game
）：只有一堆
n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取
m個。最後取光者得勝。
顯然，如果
n=m+1
，那麼由於一次最多只能取
m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=（
m+1）
r+s，（
r為任意自然數，s≤
m),那麼先取者要拿走
s個物品，如果後取者拿走k（≤
m)個，那麼先取者再拿走
m+1-k
個，結果剩下（
m+1）（
r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（
m+1）的倍數，就能最後獲勝。
這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報乙個，最多報十個，誰能報到
100者勝。
（二）威佐夫博奕（
wythoff game
）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，
bk）（
ak ≤
bk ,k=0，1
，2，...,n)
表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，
0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，
0）、（1，
2）、（3，
5）、（4，
7）、（6，
10）、（8，
13）、（9，
15）、（11，
18）、（12，
20）。
可以看出
,a0=b0=0,ak
是未在前面出現過的最小自然數,而
bk= ak + k
，奇異局勢有
如下三條性質：
1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。 由於
ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有
ak > ak-1
，而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1
。所以性質
1。成立。 2
。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
事實上，若只改變奇異局勢（ak，
bk）的某乙個分量，那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，
bk）的兩個分量同時減少，則由於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。 3
。採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是（
a,b），若
b = a
，則同時從兩堆中取走
a 個物體，就變為了奇異局勢（0，
0）；如果
a = ak
，b > bk
，那麼，取走
b - bk
個物體，即變為奇異局勢；如果
a = ak
，b < bk ,
則同時從兩堆中拿走
ak - ab - ak
個物體,
變為奇異局勢（
ab - ak , ab - ak+ b - ak
）；如果
a > ak
，b= ak + k,
則從第一堆中拿走多餘的數量
a - ak
即可；如果
a < ak
，b= ak + k,
分兩種情況，第一種，
a=aj
（j < k）,
從第二堆裡面拿走
b - bj
即可；第二種，
a=bj
（j < k）,
從第二堆裡面拿走
b - aj
即可。
從如上性質可知，兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（a，
b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k（1+
√5）/2]
，bk= ak + k
（k=0，1
，2，...,n
方括號表示取整函式)
奇妙的是其中出現了**分割數（1+√
5）/2 = 1
。618...,因此,
由ak，bk
組成的矩形近似為**矩形，由於2/（
1+√5）
=（√5-1）
/2，可以先求出
j=[a
（√5-1
）/2]
，若a=[j（1+
√5）/2]
，那麼a = aj
，bj = aj + j
，若不等於，那麼
a = aj+1
，bj+1 = aj+1+ j + 1
，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。
（三）尼姆博奕（
nimm game
）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（a，
b，c）表示某種局勢，首先（0，
0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，
n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，
0，0）。仔細分析一下，（1，
2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（0，
n，n）的情形。
計算機演算法裡面有一種叫做按位模
2加，也叫做異或的運算，我們用符號（
+）表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是
1+1=0
。先看（1，
2，3）的按位模
2加的結果：
1 =二進位制
01
2 =二進位制
10
3 =二進位制
11 （+）
———————
0 =二進位制00
（注意不進製）
對於奇異局勢（0，
n，n）也一樣，結果也是0。
任何奇異局勢（a，
b，c）都有a（
+）b（
+）c =0。
如果我們面對的是乙個非奇異局勢（a，
b，c），要如何變為奇異局勢呢？假設
a < b< c,
我們只要將
c 變為a（
+）b,即可
,因為有如下的運算結果
: a（+）
b（+）
(a（+）
b)=(a（+
）a)（+
）(b（+
）b)=0（+
）0=0
。要將c 變為a
（+）b
，只要從
c中減去c-（
a（+）
b）即可。
例1。（14，21
，39），14（+
）21=27
，39-27=12
，所以從
39中拿走
12個物體即可達到奇異局勢（14，
21，27）。
例2。（55，81
，121
），55（+
）81=102
，121-102=19
，所以從
121中拿走
19個物品就形成了奇異局勢（55，
81，102）。
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基礎經典博弈
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