最大子矩陣和

前言：

今天花了很長時間，看了無數人寫的帖子，但是幾乎沒有人把這個問題一下子說得很清楚，所以，我把這個問題按照自己的思路寫出來，希望能夠把這個問題講清楚。

問題：求乙個m*n的矩陣的最大子矩陣和。

比如在如下這個矩陣中：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

擁有最大和的子矩陣為：

9 2-4 1

-1 8

其和為15。

思路：首先，這個子矩陣可以是任意大小的，而且起始點也可以在任何地方，所以，要把最大子矩陣找出來，我們要考慮多種情況。

假定原始矩陣的行數為m，那麼對於子矩陣，它的行數可以是1到m的任何乙個數，而且，對於乙個k行（k < m）的子矩陣，它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 m - k + 1 的任意一行。

例子：對於上面的矩陣，如果子矩陣的行數是2，那麼它可以是下面幾個矩陣的子矩陣：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2 或者

9 2 -6 2

-4 1 -4 1 或者

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

在每一種情況裡（我們這裡有三種），我們還要找出乙個最大的子矩陣，當然，這只是一種情況的最大子矩陣（區域性最大），不一定是global最大。但是，如果我們知道每一種情況的最大，要找出global最大，那就小菜一碟兒了。

在講在乙個特殊情況下求最大子矩陣之前，先講乙個事實：

假設這個最大子矩陣的維數是一維，要找出最大子矩陣, 原理與求「最大子段和問題」是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max，b[j] 指的是從0開始到j的最大子段和。

例子：假設原始矩陣為：[9， 2， -6， 2]，那麼b = , 那麼最大欄位和為11，如果找最大子矩陣的話，那麼這個子矩陣是 [9， 2]

求最大子段和的**如下：

public int maxsubsequence(int array) 
int max = integer.min_value;
int maxsub = new int[array.length];
maxsub[0] = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) 
} return max;
}

但是，原始矩陣可以是二維的。假設原始矩陣是乙個3 * n 的矩陣，那麼它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。如果是1*k，這裡有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這裡有兩種情況，子矩陣在第

一、二行，子矩陣在第

二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。

為了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設這個子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求「最大子段和問題」又是一樣的了。

為了找出在原始矩陣裡的最大子矩陣，我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況，也就是說，我們要考慮這個子矩陣有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一種情況下，我們都要把它所對應的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣（區域性）。

比如，假設子矩陣是乙個3*k的矩陣，而且，它的一行是原始矩陣的第二行，那麼，我們就要在

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

裡找最大的子矩陣。

如果把它上下相加，我們就變成了 4, 11, -10,1，從這個數列裡可以看出，在這種情況下，最大子矩陣是乙個3*2的矩陣，最大和是15.

為了能夠在原始矩陣裡很快得到從 i 行到 j 行的上下值之和，我們這裡用到了乙個輔助矩陣，它是原始矩陣從上到下加下來的。

假設原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加後得到的矩陣是total，那麼我們可以通過如下**實現：

int total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) 
}

如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和，我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的範圍從1 到 matrix[0].length - 1。

有了這些知識點，我們只需要在所有的情況下，把它們所對應的區域性最大子矩陣進行比較，就可以得到全域性最大的子矩陣。**如下：

public int submaxmatrix(int matrix) 
} int maximum = integer.min_value;
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) else 
}int maximal = maxsubsequence(result);
if (maximal > maximum) 
}} 
return maximum;
}

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