最大子矩陣和

2021-06-08 21:11:38 字數 2555 閱讀 4901

前言:

今天花了很長時間,看了無數人寫的帖子,但是幾乎沒有人把這個問題一下子說得很清楚,所以,我把這個問題按照自己的思路寫出來,希望能夠把這個問題講清楚。

問題:求乙個m*n的矩陣的最大子矩陣和。

比如在如下這個矩陣中:

0 -2 -7  0

9  2 -6  2

-4  1 -4  1

-1  8  0 -2 

擁有最大和的子矩陣為:

9 2-4 1

-1 8

其和為15。

思路:首先,這個子矩陣可以是任意大小的,而且起始點也可以在任何地方,所以,要把最大子矩陣找出來,我們要考慮多種情況。

假定原始矩陣的行數為m,那麼對於子矩陣,它的行數可以是1到m的任何乙個數,而且,對於乙個k行(k < m)的子矩陣,它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 m - k + 1 的任意一行。

例子:對於上面的矩陣,如果子矩陣的行數是2,那麼它可以是下面幾個矩陣的子矩陣:

0 -2 -7  0

9  2 -6  2 或者

9  2 -6  2

-4  1 -4  1 或者

-4  1 -4  1

-1  8  0 -2 

在每一種情況裡(我們這裡有三種),我們還要找出乙個最大的子矩陣,當然,這只是一種情況的最大子矩陣(區域性最大),不一定是global最大。但是,如果我們知道每一種情況的最大,要找出global最大,那就小菜一碟兒了。

在講在乙個特殊情況下求最大子矩陣之前,先講乙個事實:

假設這個最大子矩陣的維數是一維,要找出最大子矩陣, 原理與求「最大子段和問題」 是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max,b[j] 指的是從0開始到j的最大子段和。

例子:假設原始矩陣為:[9,  2, -6,  2], 那麼b = , 那麼最大欄位和為11, 如果找最大子矩陣的話,那麼這個子矩陣是 [9, 2] 

求最大子段和的**如下:

public int maxsubsequence(int array) 

int max = integer.min_value;

int maxsub = new int[array.length];

maxsub[0] = array[0];

for (int i = 1; i < array.length; i++)

} return max;

}

但是,原始矩陣可以是二維的。假設原始矩陣是乙個3 * n 的矩陣,那麼它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k,(1 <= k <= n)。 如果是1*k,這裡有3種情況:子矩陣在第一行,子矩陣在第二行,子矩陣在第三行。如果是 2 * k,這裡有兩種情況,子矩陣在第

一、二行,子矩陣在第

二、三行。如果是3 * k,只有一種情況。

為了能夠找出最大的子矩陣,我們需要考慮所有的情況。假設這個子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行,要找出最大子矩陣,我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加,情況就和求「最大子段和問題」 又是一樣的了

為了找出在原始矩陣裡的最大子矩陣,我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況,也就是說,我們要考慮這個子矩陣有可能只有1行,2行,。。。到n行。而在每一種情況下,我們都要把它所對應的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣(區域性)。

比如,假設子矩陣是乙個3*k的矩陣,而且,它的一行是原始矩陣的第二行,那麼,我們就要在

9  2 -6  2

-4  1 -4  1

-1  8  0 -2 

裡找最大的子矩陣。

如果把它上下相加,我們就變成了 4, 11, -10,1, 從這個數列裡可以看出,在這種情況下,最大子矩陣是乙個3*2的矩陣,最大和是15.

為了能夠在原始矩陣裡很快得到從 i 行到 j 行 的上下值之和,我們這裡用到了乙個輔助矩陣,它是原始矩陣從上到下加下來的。

假設原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加後得到的矩陣是total,那麼我們可以通過如下**實現:

int total = matrix;

for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++)

}

如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和,我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的範圍從1 到 matrix[0].length - 1。

有了這些知識點,我們只需要在所有的情況下,把它們所對應的區域性最大子矩陣進行比較,就可以得到全域性最大的子矩陣。**如下:

public int submaxmatrix(int matrix) 

} int maximum = integer.min_value;

for (int i = 0; i < matrix.length; i++) else

}int maximal = maxsubsequence(result);

if (maximal > maximum)

}}

return maximum;

}

最大子段和 最大子矩陣和

給出n個整數序列 可能為負數 組成的序列a1,a2,an,求該序列形如 的子段和的最大值。當所有整數均為負數時,定義最大子段和為0。多測試用例。每個測試用例佔2行 第一行是序列的個數n 0 n 10000 第二行是n個整數。為每個測試用例輸出一行結果 最大子段和。6 2 11 4 13 5 2 31...

最大子矩陣和

前言 今天花了很長時間,看了無數人寫的帖子,但是幾乎沒有人把這個問題一下子說得很清楚,所以,我把這個問題按照自己的思路寫出來,希望能夠把這個問題講清楚。問題 求乙個m n的矩陣的最大子矩陣和。比如在如下這個矩陣中 0 2 7 0 9 2 6 2 4 1 4 1 1 8 0 2 擁有最大和的子矩陣為 ...

最大子矩陣和

題目 求乙個m n的矩陣的最大子矩陣和。比如在如下這個矩陣中 0 2 7 0 9 2 6 2 4 1 4 1 1 8 0 2 擁有最大和的子矩陣為 9 2 4 1 1 8 其和為15。思路 二維轉成一維,用一維的最大連續子串行求和即可。include include include 從a中找到最大連...