波利亞教我們怎樣解題
（北京師範大學數學系） 王敬庚
每個同學差不多都有過這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了乙個絕妙的解法，這時你最希望知道的是「老師是怎麼想出這個解法的？」如果這個解法不是很難時，「我自己完全可以想出，但為什麼我沒有想到呢？」
美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（george polya,1887~1985）對回答上述問題非常感興趣，他先後寫出了《怎樣解題》、《數學的發現》和《數學與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界範圍內的數學教育名著。對數學教育產生了深刻的影響。正因為如此，當波利亞93歲高齡時，還被國際數學教育大會聘為名譽主席。
波利亞2023年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，獲博士學位。2023年在蘇黎世著名的瑞士聯邦理工學院任教。2023年移居美國，2023年起任美國史丹福大學教授。他一生發表達200多篇**和許多專著，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，對實變函式、復變函式、概率論、縱使數學、數論，幾何和微分方程等若干分支領域都做出了開創性的貢獻，留下了以他的名字命名的術語和定理。他是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士，不愧為一位傑出的數學家。
波利**心數學教育，十分重視培養學生思考問題分析問題的能力。他認為中學數學教育的根本宗旨是「教會年輕人思考」。教師要努力啟發學生自己發現解法，從而從根本上提高學生的解題能力。
波利亞致力於解題的研究，為了回答「乙個好的解法是如何想出來的」這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，並把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括「弄清問題」、「擬定計畫」、「實現計畫」和「回顧」四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即「擬定計畫」的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是「找出已知數與未知數之間的聯絡，如果找不出直接聯絡，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出乙個求解計畫。」他把尋找並發現解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的「慢動作鏡頭」，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。
波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什麼？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。「你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道乙個可能用得上的定理？看著未知數！試指出乙個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這裡有乙個與你現在的問題有聯絡且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？......」
波利亞說他在寫這些東西時，腦子裡重現了他過去在研究數學時解決問題的過程。實際上是他解決研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學教育，特別是研究解題教學時的優勢所在，絕非「紙上談兵」。仔細想一想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過錶中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。現在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。
波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數學家瓦爾登2023年2月2日在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說：「每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀讀這本引人入勝的書」。我想，波利亞關於怎樣解題的思想對於廣大中學生同樣也是非常需要的和有益的。
波利亞強調發現，不僅僅是指發現解法，而且也包括數學的創新發現。他把闡述自己「對解題的理解、研究和講授」的書取名為《數學的發現》，我想大概就是這個原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細介紹了數學大師尤拉發現凸多面體的尤拉公式（頂點數—稜數+面數=2）的全過程，生動地再現了尤拉如何一步一步地進行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處於發現過程中的數學，照原樣提供給我們。展示教學家創新發現的思維活動過程，自然而生動地顯示歸納和猜想在數學發現中的重要作用，這在教科書和一般的數學著作中是極少見到的，而這對於學習數學卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學習證明，而且要學習猜想。也就是不僅要培養和提高解題能力，而且要學習和培養創新能力。
參考資料
1.波利亞著《怎樣解題》（閻育蘇譯）。北京：科學出版社，2023年。
2.波利亞著《數學的發現》第一卷，歐陽絳譯，北京：科學出版社，2023年。第二卷，劉遠圖等譯，北京：科學出版社，2023年。
3.波利亞著《數學與猜想》（第一卷，李心燦等譯，第二卷，李克堯等譯）北京：科學出版社2023年。
摘自中學數學
波利亞的數學怎樣解題表
弄清問題
第一，你必須弄清問題
未知是什麼
?已知是什麼
?條件是什麼
?滿足條件是否可能
?要確定未知，條件是否充分
?或者它是否不充分
?或者是多餘的
?或者是矛盾的
?畫張圖，引入適當的符號．
把條件的各個部分分開．你能否把它們寫下來?
擬定計畫
第二，找出已知數與未知數之間的聯絡．如果找不出直接的聯絡，你可能不得不考慮輔助問題．
你應該最終得出乙個求解的計畫
你以前見過它嗎
?你是否見過相同的問題而形式稍有不同
?你是否知道與此有關的問題
?你是否知道乙個可能用得上的定理
?看著未知數，試想出乙個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題．
這裡有乙個與你現在的問題有關，且早已解決的問題．
你能不能利用它
?你能利用它的結果嗎
?你能利用它的方法嗎
?為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素
?你能不能重新敘述這個問題
?你能不能用不同的方法重新敘述它
?回到定義去．
如果你不能解決所提出的問題，可先解決乙個與此有關的問題．你能不能想出乙個更容易著手的有關問題
?乙個更普遍的問題
?乙個更特殊的問題
?乙個模擬的問題
?你能否解決這個問題的一部分
?僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分．這樣對於未知數能確定到什麼程度
?它會怎樣變化
?你能不能從已知資料匯出某些有用的東西
?你能不能想出適合於確定未知數的其他資料
?如果需要的話，你能不能改變未知數或資料，或者二者都改變，以使新未知數和新資料彼此更接近
?你是否利用了所有的已知資料
?你是否利用了整個條件
?你是否考慮了包含在問題中的必要的概念?
實現計畫
第三，實行你的計畫
實現你的求解計畫，檢驗每一步驟．
你能否清楚地看出這一步驟是正確的
?你能否證明這一步驟是正確的?
回顧第四，驗算所得到的解．
你能否檢驗這個論證
?你能否用別的方法匯出這個結果
?你能不能一下子看出它來
?你能不能把這一結果或方法用於其他的問題
怎樣解題
作 者 g·波利亞著 塗泓 馮承天譯
出 版 社 上海科技教育出版社
書 號 5428-2855-x
責任編輯 匡志強 何妙福 開本 32
出版時間 2023年6月 字數 千字
裝 幀平裝印張 0
帶 盤否 頁數 257
定 價 ￥16.0
怎樣解題 內容提要
本書是國際著名數學家、數學家波利亞論述中學數學教學法的普及名著，對數學教育產生了深刻的影響。波利亞認為中學數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把「解題」作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。本書是他專門研究解題的思維過程後的結晶。全書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張「怎樣解題」表。作者在書中引導學生按照「表」中的問題和建議思考問題，探索解題途徑，進而逐步掌握解題過程的一般規律。書中還有一部「探索法小詞典」，對解題過程中典型有用的智力活動做進一步解釋。本書從2023年出版後暢銷不衰，多次重印、再版，並被譯成多種文字，20世紀80年代初，曾在中國的數學教育界引起極大反響。
怎樣解題
圖書目錄全文
第一篇在教室裡
目的1. 幫助學生1
2. 問題，建議，思維活動1
3. 普遍性2
4. 常識3
5. 教師和學生，模仿和實踐3
主要部分，主要問題
6. 四個階段5
7. 理解題目6
8. 例子7
9. 擬訂方案8
10. 例子10
11. 執行方案13
12. 例子14
13. 回顧15
14. 例子16
15. 不同的方法20
16. 教師提問的方法21
17. 好問題與壞問題22
更多例子
18. 一道作圖題23
19. 一道證明題26
20. 一道速率題30
第二篇怎樣解題
一段對話35
第三篇探索法小詞典
模擬39
輔助元素48
輔助題目52
博爾扎諾59
出色的念頭59
你能檢驗這個結果嗎？60
你能以不同的方式推導這個結果嗎？62
你能應用這個結果嗎？66
執行69
條件73
矛盾74
推論74
你能從已知資料中得出一些有用的東西嗎?74
你能重新敘述這道題目嗎?76
分解和重組77
培養抽象思考能力
數學被視為科學之母，可以被廣泛的應用其它學科，要討論為何數學這麼乙個純綷的學科具有什麼樣的特質，使其可以被使用於各個領域，其實乙個最簡單的回答就是 抽象 抽象這兩個字，究其字面意義要行解釋，本身就很 抽象 我們舉個實際的例子 1 1 2 就是抽象，您可以具體的在數字後面加上單位，像是蘋果 狗 人等具...
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人員能力模型及能力培養設計
公司發展到一定程度，或者來到乙個新公司，新企業，需要對團隊的人員能力進行評估，就部門的人員情況，搭建架構，組織設定培養方案，提公升的方案，需要有一定的人員能力的評估方案，這麼多年工作，之前總結過多次，但是由於各種原因，檔案丟失等，現在重新整理。1.人員能力評估表，需要乙個對團隊的人員能力進行相關評估...