博弈論 取石子問題

2021-06-18 11:24:37 字數 3365 閱讀 6635

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有一種很有意思的遊戲,就是有物體若干堆,可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物

體若干,規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的乙個遊戲,別看這遊戲極其簡單,卻蘊含著深

刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。

(一)巴什博弈(bash game,同餘理論

只有一堆n個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取乙個,最多取m個。最後取光者得勝。

顯然,如果n=m+1,那麼由於一次最多只能取m個,所以,無論先取者拿走多少個,後取者都能夠一次

拿走剩餘的物品,後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則:如果n=(m+1)r+s,(r為任意自然數,s

≤m),那麼先取者要拿走s個物品,如果後取者拿走k(≤m)個,那麼先取者再拿走m+1-k個,結果剩下

(m+1)(r-1)個,以後保持這樣的取法,那麼先取者肯定獲勝。總之,要保持給對手留下(m+1)的倍

數,就能最後獲勝。

這個遊戲還可以有一種變相的玩法:兩個人輪流報數,每次至少報乙個,最多報十個,誰能報到100

者勝。(二)威佐夫博弈(wythoff game,**分割):有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣

多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。

這種情況下是頗為複雜的。我們用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示兩堆物品的數量

並稱其為局勢,如果甲面對(0,0),那麼甲已經輸了,這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是

:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12

,20)。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k,奇異局勢有

如下三條性質:

1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。

由於ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1

> ak-1 。所以性質1。成立。

2。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。

事實上,若只改變奇異局勢(ak,bk)的某乙個分量,那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中,所

以必然是非奇異局勢。如果使(ak,bk)的兩個分量同時減少,則由於其差不變,且不可能是其他奇異局

勢的差,因此也是非奇異局勢。

3。採用適當的方法,可以將非奇異局勢變為奇異局勢。

假設面對的局勢是(a,b),若 b = a,則同時從兩堆中取走 a 個物體,就變為了奇異局勢(0,0)

;如果a = ak ,b > bk,那麼,取走b - bk個物體,即變為奇異局勢;如果 a = ak , b < bk ,則同

時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,

b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分兩種情況,第一種,

a=aj (j < k),從第二堆裡面拿走 b - bj 即可;第二種,a=bj (j < k),從第二堆裡面拿走 b - aj

即可。從如上性質可知,兩個人如果都採用正確操作,那麼面對非奇異局勢,先拿者必勝;反之,則後拿者

取勝。那麼任給乙個局勢(a,b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢?我們有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括號表示取整函式)

奇妙的是其中出現了**分割數(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk組成的矩形近似為**矩形,

由於2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那麼a = aj,bj

= aj + j,若不等於,那麼a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那麼就不是奇異局勢。然後再按

照上述法則進行,一定會遇到奇異局勢。

(三)尼姆博弈(nim      game,異或理論):有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次

至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝。

這種情況最有意思,它與二進位制有密切關係,我們用(a,b,c)表示某種局勢,首先(0,0,0)顯

然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失敗。第二種奇異局勢是(0,n,n),只要與對手拿走一

樣多的物品,最後都將導致(0,0,0)。仔細分析一下,(1,2,3)也是奇異局勢,無論對手如何拿,

接下來都可以變為(0,n,n)的情形。

計算機演算法裡面有一種叫做按位模2加,也叫做異或的運算,我們用符號(+)表示這種運算。這種運

算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的結果:

1 =二進位制01

2 =二進位制10

3 =二進位制11 (+)

———————

0 =二進位制00 (注意不進製)

對於奇異局勢(0,n,n)也一樣,結果也是0。

任何奇異局勢(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我們面對的是乙個非奇異局勢(a,b,c),要如何變為奇異局勢呢?假設 a < b< c,我們只要將 c

變為 a(+)b,即可,因為有如下的運算結果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)

0=0。要將c 變為a(+)b,只要從 c中減去 c-(a(+)b)即可。

例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢(14

,21,27)。

例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢

(55,81,102)。

例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,從58中拿走10個,變為(29,45,48)。

例4。我們來實際進行一盤比賽看看:

甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢

乙:(1,8,9)->(1,8,4)

甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢

乙:(1,5,4)->(1,4,4)

甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢

乙:(0,4,4)->(0,4,2)

甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢

乙:(0,2,2)->(0,2,1)

甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢

乙:(0,1,1)->(0,1,0)

甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢

甲勝。

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