mit大牛林達華
變換與不變是數學裡面最令人神往的一對矛盾統一。所謂「變換不變性」，以不變刻畫變化，其核心深刻反映了這種對偶的關係。
變換不變性貫徹於很多具體的數學領域之中，對它的全面討論遠非我力所能及。這篇文章只是討論它的乙個簡單例子，希望通過乙個小小的視窗管窺這個世界的奧妙。
何謂旋轉？
這篇文章只想很初步地回答兩個基本的問題
1. 什麼叫做旋轉(rotation)？
2. 什麼東西被旋轉後是不變的（具有旋轉不變性）？
為了簡單起見，只考慮二維空間，它到高維的推廣也並不特別困難。在代數上，所謂旋轉，可以用下面的方程表達：
x』 = x cos(t) – y sin(t); y』 = x sin(t) + y cos(t)。
但是，這樣一種表達並不能給人以直觀的感覺。所以，我們還是回到幾何本身來看待這個問題。什麼東西旋轉後是不變的呢？「東西」這個概念太模糊了，在數學上，我們討論問題得首先指定乙個範圍，就是所謂「物件的集合」。這裡，我們先考慮最簡單的幾何構造——點，我們討論的全集就是整個二維空間的點集。那麼上面的問題，就細化為「哪些點旋轉後是不變的？」 答案是非常顯而易見的，只有一點——就是原點。
這樣，我們得到了對於旋轉變換的第乙個變換不變性：原點不變。可是，這麼個條件太寬了，我們很容易找到別的變換，比如縮放，它也是原點不變的。因此，依靠單點的不變性在這裡並不能非常有效地刻畫變換的特點，我們需要更強大的對不變性的表達。
從「原點不變」到「圓不變」
於是，數學界從對乙個點的變換，推廣到對乙個集合的變換。比如集合 x = , 那麼乙個變換 t 施加到集合上，得到「變換後的集合」就是：t (x) = 。 如果有 t(x) = x，我們說集合x是變換不變的。 事實上，t(x) 和 x 只要包含相同的那堆元素就行了，每個單個的元素都允許被變化到另一點的。
這個推廣看似簡單，看是表達能力完全不在了乙個層次上。比如，乙個集合如果有n點的話，它就有2^n個子集，如果只考慮單點，我們只能看n個東西，而如果允許考慮子集的話，我們能看2^n個東西，傳遞的資訊自然也豐富得多。
基於「集合的變換不變性」這個概念，我們可以找到這麼一些點集——「以原點為圓心的圓」，它們是旋轉不變的。「圓不變」比前面的「原點不變」進步了很多，已經在相當程度上刻畫出了旋轉的特性，最起碼，剛才那個反例「縮放變換」被排除了。如果我們把變換限定為仿射變換（affinetransform），那麼我們已經基於「圓不變性」得到對旋轉的嚴格定義：「旋轉就是圓不變的彷射變換」。
「旋轉不變的集合」並不僅僅是圓，事實上「不同半徑的圓的任意並集」都是旋轉不變的，反過來，任何旋轉不變的集合都是圓的並集。這樣，以「圓」為基(basis)，通過任意並集生成(generate)的集簇(collection of subsets)就對應於全部旋轉不變的集合。
這裡，我們得到了兩個大集合：，，這兩個集合都分別同胚於一維實空間，總維數是2，等於原空間的維數——這個結果並非偶然，它其實就是李群論中變換空間，軌跡空間（商空間），和原空間的維數關係定理的乙個特例。
我們把討論的範圍限定為仿射變換（包括了平移，旋轉，拉伸，縮放和它們的各種合成變換）的情況下，圓不變完整地刻畫了旋轉變換。旋轉（變換）和圓（不變性）構成了一對對偶。
從「旋轉——圓」到「變換群——軌跡」
旋轉對應於圓，這個我們甚至可以直接觀察得到。但是，對於一般的變換呢，我們如何找它們的不變集？這需要把概念推廣到：「變換群」和「軌跡」。
乙個變換群，就是指一群可逆變換，對於「合成」是封閉的——群裡面兩個變換的合成必然還在群裡。所以，旋轉是乙個變換群：因為旋轉再旋轉還是旋轉。對於空間一點，把變換群中每個變換都對它施加一下，那麼，就可以得到乙個集合，叫做「軌跡」。比如旋轉群，它（各種角度的旋轉）施加於任意一點，就得到乙個圓，那麼圓就是旋轉的軌跡。由於變換群對於合成的封閉性，可以證明，對於任何乙個變換群，它施加於任何一點得到的軌跡是變換不變的。這樣，我們從「旋轉——圓」的對偶關係，進一步推廣到了「變換群——軌跡」的對偶關係，從而我們獲得了以軌跡刻畫變換的方法，這通常比代數方法更為直觀和具有更加鮮明的幾何意義。
如果變換是自由的，「就是說不同的變換施加於同一點會有不同結果」，那麼，變換群和所有軌跡組成的空間（商空間）具有乙個結論：它們的維度之和等於原空間維度。這在一定意義上，反映出它們的關係是「互補」的。
概率分布的「變換不變性」
進一步的，我們剛才把變換的物件，從點推廣到集合，得到了很多重要的觀察。那麼，這個事情還可以進一步延伸。假設說，我們有乙個空間概率分布，就是乙個點以一定的概率出現在空間各處，對這麼乙個隨機點，施加乙個變換，在變換後的時刻，得到的點依舊是乙個空間分布，變換後的分布是由變換前的分布和變換本身共同決定的。我們也可以這麼理解，我們「對整個分布」進行了變換，得到了新的分布。
哪些分布是「旋轉不變呢」？就是說，分布旋轉後還是同樣的分布。我們很容易找到一些：比如標準高斯分布，圓盤裡面的均勻分布，等等。為了更清楚地說明這個問題，我們需要更明確的條件。對於連續分布，有乙個很容易得到但是很重要的結論：如果這個分布在所有的軌跡上都具相等的概率密度，那麼，這個分布是變換不變的。特別的，如果乙個分布在每個圓上都是等概率密度，那麼這個分布旋轉不變。
反過來，標準高斯分布對於乙個變換是不變的，那麼這個變換是不是必然是旋轉呢？
以變換不變性為橋梁，我們可以發現概率分布和幾何有著某種內在的聯絡。一直以來，我們討論分布時，都關注它的代數形式，而事實上分布的幾何形態同樣蘊含著豐富的資訊，也提供了不同的視角。變換不變性，則是**這個問題，從而建立概率論和幾何學的聯絡的乙個重要工具。
另外，在隨機過程中，對於轉移變換的變換不變性，對於描述過程的「各態歷經性」(ergodicity)也有著密切的關係。
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