設
f f
是 n' role="presentation">n
n維線性空間
v v
的乙個線性變換，
w' role="presentation">ww是
v v
的乙個
f' role="presentation">f
f子空間， 令 f
w:w↦
w=f w:
w↦w=
在 w w
中取一組基
(1)ξ1,
⋯,ξk
' role="presentation">ξ1,
⋯,ξk
(1)(1)ξ1
,⋯,ξ
k並擴充套件成
v v
的一組基： ξ1
,⋯,ξ
k,ξk
+1,⋯
,ξn,
' role="presentation">ξ1,
⋯,ξk
,ξk+
1,⋯,
ξn,ξ
1,⋯,
ξk,ξ
k+1,
⋯,ξn
,則 f f
在這組基下的矩陣有如下的形式： (a
1k×k
a3k×
(n−k
)0(n
−k)×
ka2(
n−k)
×(n−
k))' role="presentation">(a1
k×k0
(n−k
)×ka
3k×(
n−k)
a2(n
−k)×
(n−k
))(a
1k×k
a3k×
(n−k
)0(n
−k)×
ka2(
n−k)
×(n−
k))其中 a1
a
1是 fw
f
w在 ξ1
,⋯,ξ
k ξ1,
⋯,ξk
下的矩陣。
反之，若
f f
在這組基下的矩陣有上面的形式，則由 (1
)' role="presentation">(1)
(1)生成的子空間
w w
就是 v' role="presentation">v
v的乙個
f f
子空間。設 v
=⊕si
=1wi
,' role="presentation">v=⊕
si=1
wi,v
=⊕si
=1wi
,在每個 wi
w
i中取 wi
w
i的一組基： ξi
1,⋯,
ξini
(2) (2)ξi
1,⋯,
ξini
則它們一起組成
v v
的一組基。則
f' role="presentation">f
f在這組基下的矩陣有如下的準對角矩陣形式： ⎛⎝
⎜⎜a1
n1×n
1⋱as
ns×n
s⎞⎠⎟
⎟ (a1
n1×n
1⋱as
ns×n
s)
其中 ai
a
i是 fw
i fwi
在 ξi
1,⋯,
ξini
ξ i1
,⋯,ξ
in
i下的矩陣。
反之，若
f f
在這組基下的矩陣有上面的形式，則對於每乙個 i,
' role="presentation">i,i
,由 (2
) (2)
生成的子空間 vi
v
i就是
v v
的乙個
f' role="presentation">f
f子空間。
線性空間與線性變換
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矩陣論筆記（一） 線性空間與線性變換
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