我們知道，線性方程組可以改寫成矩陣向量乘法的形式。
矩陣 a
aa 代表乙個線性變換，求解 ax⃗
=v⃗a\vec = \vec
ax=v
意味著我們去尋找乙個向量 x
⃗\vec
x，使它在變換後與 v
⃗\vec
v 重合，我們看乙個在二維空間中的例子，[22
在二位向量空間中，線性變換 a
aa 會有兩種情況，一種是 a
aa 保持空間為二維，一種是 a
aa 將空間壓縮為更低的維度，以上一節行列式中的內容來說，就是 det(
a)=0
\det(a) = 0
det(a)
=0與 det(
a)≠0
\det(a) \neq 0
det(a)
̸=0
的區別。
我們先來看看一般情況，即 det(
a)≠0
\det(a) \neq 0
det(a)
̸=0
。在這種情況下，有且僅有乙個向量 x
⃗\vec
x 在經過變換 a
aa 後與 v
⃗\vec
v 重合。我們可以通過逆向變換來找到這個向量 x
⃗\vec
x，這裡的逆向變換就是所謂的逆變換。我們用 a−1
a^a−
1 來表示。a
aa 與 a−1
a^a−
1 復合會得到乙個什麼也不做的矩陣，也就是單位矩陣（由基向量組成的矩陣）。
這個也同樣適用於更高維的空間，只要變換的行列式不為零，那就一定有乙個唯一的 x
⃗\vec
x，使得 v
⃗\vec
v 做逆變換後與 x
⃗\vec
x 重合。
現在考慮第二種情況，就是變換 a
aa 將空間壓縮到更低的維度，即 det(
a)=0
\det(a) = 0
det(a)
=0，這種情況下，a
aa 不存在逆變換，因為你不能將一條直線「解壓縮為乙個平面「。
不過即使 det(
a)=0
\det(a) = 0
det(a)
=0，解也有可能存在，如果 v
⃗\vec
v 剛好在壓縮後的直線上。
在前面我們使用行列式等不等於零來判斷向量空間是否被壓縮，那怎麼描述這個壓縮的程度呢，我們引入乙個新的術語——秩。如果乙個變換將空間壓縮成乙個直線，那麼這個變換的秩為1，如果變換後的向量落在二維空間中，那麼這個變換的秩為2。所以秩指的的是變換後空間的維數，比如 2×2
2 \times 2
2×2 矩陣最大的秩是2，3×3
3 \times 3
3×3 矩陣最大的秩是3，乙個變換的列所張成的空間就是這個變換的列空間，也就是向量空間，所以秩更精確的定義是列空間的維數。當秩為最大值時，即秩等於矩陣的列數，我們稱這個矩陣滿秩。
對於乙個滿秩的矩陣來說，唯一乙個能在變換後落在原點的只有零向量，但是對於非滿秩的矩陣，由於空間被壓縮了，可能會有一系列的向量在變換後變成零向量。
三維空間被壓縮到二維平面，也有一整條直線上的向量被壓縮到原點上。
三維空間被壓縮到直線，那會有一整個平面上的向量被壓縮到原點上。
在上面提到的，在變換後落在原點的向量集合，被稱為矩陣的「零空間」或「核」。回到一開始講到的問題，在 det(
a)=0
\det(a) = 0
det(a)
=0的情況下，只有當 v
⃗\vec
v 為零向量時，線性方程組才有解，而這裡提到的「零空間」就是這個線性方程組的解集。
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