反正切函式的應用

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反正切函式可展開成無窮級數，有如下公式 

使用反正切函式計算pi是一種常用的方法。例如，最簡單的計算pi的方法： 

pi=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2) 

然而，這種方法的效率很低，但我們可以根據角度和的正切函式公式： 

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3) 

通過簡單的變換得到： 

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4) 

利用這個公式，令p=1/2,q=1/3，則(p+q)/(1-pq)=1，有 

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1) 

使用1/2和1/3的反正切來計算arctan(1)，速度就快多了。 

我們將公式(4)寫成如下形式 

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c) 

其中a,b和c均為正整數。 

我們的問題是：對於每乙個給定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我們保證對於任意的a都存在整數解。如果有多個解，要求你給出b+c最小的解。 

input

輸入檔案中只有乙個正整數a，其中 1 <= a <= 60000。

output

輸出檔案中只有乙個整數，為 b+c 的值。

sample input

1

5

思路：

根據公式arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] ==> a = (bc - 1) / (b + c)
再整理一下 q = b+c = (c^2 + 1) / (c - a) = c + a + (a^2 + 1) / (c - a)，
這樣等式的右邊就只有a和c了。
因為a是給定的，所以q為c的乙個函式。求q的導數有：q' = 1 - （a^2 + 1）/ (c - a)^2。
令q' = 0，有c = a + sqrt(a^2 + 1)。
根據極限的知識知道，q在c = a + sqrt(a^2 + 1)存在乙個最小值。
但因為c為整數，q是個離散函式，無法取到該極限，不過q的最小值
一定是所有值中最接近該極限的。所以我們從
c = 2a開始左右擺動搜尋，逐漸擴大擺動範圍，直到找到乙個c滿足c-a能整除a^2 + 1。

#include#include#include#include#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
typedef long long ll;
ll min(ll a,ll b)
int main()
if (a + c + 1 <= a && a % (a + c + 1) == 0)
}printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

反正切函式的應用

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1734 反正切函式的應用

2001年noi全國競賽 時間限制 3 s 空間限制 64000 kb 題目等級 大師 master 題解都在圖里 輸入描述 input description 輸入只有乙個正整數a,1 a 60000.輸出描述 output description 乙個整數，為b c 的值 樣例輸入 sample...