演算法導論之五堆排序

堆排序的時間複雜度是，與插入排序相似，堆也具有空間原址性，即任何時候都只需要常數個額外的元素空間儲存臨時資料。

1. 堆簡介：

（1）堆是乙個陣列，表示堆的陣列a包括兩個屬性：a.length表示陣列元素的個數，a.heap-size表示有多少個堆元素儲存在該陣列中。

給定一結點的下標i，可以得到其父結點、左孩子和右孩子的下標：

parent(i)

return

left(i)

return 2i

right(i)

return 2i+1

（2）最大堆性質是指除了根以外的所有結點i都要滿足：a[parent(i)] >=a[i]，即某個結點的值最多與其父結點一樣大。

堆中的結點高度為該結點到葉結點最長簡單路徑上邊的數目。包含n個元素的堆看做一棵完全二叉樹時，其堆高度為。

2. 維護堆性質

max-heapify是用於維護最大堆性質的過程，輸入為乙個陣列a和乙個下標i。該過程通過對a[i]的值在最大堆中「逐級下降」，從而使得以下標i為根結點的子樹重新遵循最大堆的性質。

max-heapify(a,i)

l = left(i)

r = right(i)

//選出最大結點，將其下標儲存在largest中

if l <= a.heap-sizeand a[l] > a[i]

largest = l

else largest = i

if r <= a.heap-sizeand a[r] > a[largest]

largest = r

//如果a[i]最大，則以i為根結點的子樹已經是最大堆，程式結束

if largest != i

exchangea[i] with a[largest] //否則交換二值

//交換後，下標為largest的結點的值為原來的a[i]，以此節點為根的子樹有可能會//違反最大堆的性質，因此需要對子樹遞迴呼叫

max-heapify(a,largest)

注意該過程的時間複雜度為，即與樹高呈線性關係。

3. 建堆

採用自底向上的方法利用過程max-heapify可將乙個大小為n=a.length的陣列a[1..n]轉換為最大堆。過程build-max-heap對樹中的其他結點都呼叫一次max-heapify。

build-max-heap(a)

a.heap-size = a.length

for i = downto 1 //由於a(+1..n)中的元素都是樹的葉節點

max-heapify(a,i)

注意每一次for迴圈的開始，結點i-1,i-2,…,1都是乙個最大堆的根結點。

4. 堆排序演算法

堆排序利用build-max-heap將輸入陣列a[1..n](n=a.length)建成最大堆，因為陣列中的最大元素總在根結點a[1]中，通過把它與a[n]交換，讓該元素放到正確的位置。此時，從堆中去掉結點n，剩餘的結點中，原來根的孩子仍然是最大堆，而新的根結點可能會違背最大堆的性質，因此，呼叫max-heapfy(a,1)，從而在a[1..n-1]上構造乙個新的最大堆。以此不斷重複該過程。

heap-sort(a)

build-max-heap(a)

for i =a.length downto 2

exchange a[1] with a[i]

a.heap-size= a.heap-size – 1

max-heapify(a,1)

注意heap-sort的時間複雜度為。

5. 堆的應用：優先佇列

優先佇列是一種用來維護由一組元素構成的集合s的資料結構，其中每乙個元素都有乙個相關的值，稱為關鍵字。最大優先佇列的應用之一是共享計算機系統的作業排程，而最小優先佇列應用之一是基於事件驅動的模擬器。下面介紹最大優先佇列的集中操作。

heap-maximum(a) //返回最大關鍵字的元素

return a[1]

heap-extract-max(a) //去掉並返回s中具有最大關鍵字的元素

if a.heap-size < 1

error "heap underflow"

max = a[1]

a[1] = a[a.heap-size]

a.heap-size = a.heap-size -1

max-heapify(a,1)

return max

heap-increase-key(a,i,key) //將元素i的關鍵字值增加到key

if key

error"new key"

a[i] = key

while i >1 and a[parent(i)] < a[i]

exchangea[i] with a[parent(i)]

i =parent(i)

max-heap-insert(a,key) //實現insert操作

a.heap-size =a.heap-size + 1

a[a.heap-size]= -

heap-increase-key(a,a.heap-size,key)

下面的程式是實現最大堆排序：

voidbuild_max_heap(int *a,int len);

voidheap_sort(int *a,int len);

#include

voidexchange(int *a,int i,int j)

intleft_child(int i)

intright_child(int i)

voidmax_heapify(int *a,int len,int index)

if ((r < len) && (a[r] >a[largest]))

if (largest != index)

}

intmain() ;

exchange(source,0,1);

printf("%d%d",source[0],source[1]);

printf("\n");

int i;

heap_sort(source,sizeof(source)/sizeof(source[0]));

for(i=0;i

printf("\n"); }

voidbuild_max_heap(int *a,int len)

for (i=0;i

printf("\n"); }

voidheap_sort(int *a,int len)

}

演算法導論之五堆排序

演算法導論 6 堆排序

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