全排列生成演算法 next permutation

全排列的生成演算法有很多種，有遞迴遍例，也有迴圈移位法等等。c++/stl中定義的next_permutation和prev_permutation函式則是非常靈活且高效的一種方法，它被廣泛的應用於為指定序列生成不同的排列。本文將詳細的介紹prev_permutation函式的內部演算法。

按照stl文件的描述，next_permutation函式將按字母表順序生成給定序列的下乙個較大的序列，直到整個序列為減序為止。prev_permutation函式與之相反，是生成給定序列的上乙個較小的序列。二者原理相同，僅遍例順序相反，這裡僅以next_permutation為例介紹演算法。

下文內容都基於乙個假設，即序列中不存在相同元素。對序列大小的比較做出定義：兩個長度相同的序列，從兩者的第乙個元素開始向後比較，直到出現乙個不同元素（也可能就是第它們的第乙個元素），該元素較大的序列為大，反之序列為小；若一直到最後乙個元素都相同，那麼兩個序列相等。

設當前序列為pn，下乙個較大的序列為pn+1，那麼不存在pm，使得pn

< pm

< pn+1。

給定任意非空序列，生成下乙個較大或較小的序列。

根據上述概念易知，對於乙個任意序列，最小的序列是增序，最大的序列為減序。那麼給定乙個pn要如何才能生成pn+1呢？先來看下面的例子：

我們用1 a2 ... am>來表示m個數的一種序列。設序列pn=<3 6 4 2>，根據定義可算得下乙個序列pn+1=<4 2 3 6>。觀察pn可以發現，其子序列<6 4 2>已經為減序，那麼這個子串行不可能通過交換元素位置得出更大的序列了，因此必須移動最高位3（即a1）的位置，且要在子串行<6 4 2>中找乙個數來取代3的位置。子串行<6 4 2>中6和4都比3大，但6大於4。如果用6去替換3得到的序列一定會大於4替換3得到的序列，因此只能選4。將4和3的位置對調後形成排列<4 6 3 2>。對調後得到的子串行<6 3 2>仍保持減序，即這3個數能夠生成的最大的一種序列。而4是第1次作為首位的，需要右邊的子串行最小，因此4右邊的子串行應為<2 3 6>，這樣就得到了正確的乙個序列pn+1=<4 2 3 6>。

下面歸納分析該過程。假設乙個有m個元素的序列pn，其下乙個較大序列為pn+1。

1) 若pn最右端的2個元素構成乙個增序子串行，那麼直接反轉這2個元素使該子串行成為減序，即可得到pn+1。

2) 若pn最右端一共有連續的s個元素構成乙個減序子串行，令i = m - s，則有pn(i)

< pn(i+1)，其中pn(i)表示排列pn的第i個元素。例如pn=<1 2 5 4 3>，那麼pn的右端最多有3個元素構成乙個減序子集<5 4 3>，i=5-3=2，則有pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若將pn(i)和其右邊的子集s 中任意乙個元素調換必能得到乙個較大的序列（不一定是下乙個）。要保證是下乙個較大的序列，必須保持pn(i)左邊的元素不動，並在子集s 中找出所有比pn(i)大的元素中最小的乙個pn(j)，即不存在pn(k) ∈ s且pn(i)

< pn(k)

< pn(j)，然後將二者調換位置。現在只要使新子集成為最小序列即得到pn+1。注意到新子集仍保持減序，那麼此時直接將其反轉即可得到pn+1 。

最好的情況為pn的最右邊的2個元素構成乙個最小的增序子集，交換次數為1，複雜度為o(1)，最差的情況為1個元素最小，而右面的所有元素構成減序子集，這樣需要先將第1個元素換到最右，然後反轉右面的所有元素。交換次數為1+(n-1)/2，複雜度為o(n)。因為各種排列等可能出現，所以平均複雜度即為o(n)。

1. 能否直接算出集合的第n個排列？

設某個集合（a1

2<...m）構成的某種序列pn，基於以上分析易證得：若as

t，那麼將as作為第1個元素的所有序列一定都小於at作為第1個元素的任意序列。同理可證得：第1個元素確定後，剩下的元素中若as'

t'，那麼將as'作為第2個元素的所有序列一定都小於作為第2個元素的任意序列。例如4個數的集合構成的序列中，以3作為第1個元素的序列一定小於以4或6作為第1個元素的序列；3作為第1個元素的前題下，2作為第2個元素的序列一定小於以4或6作為第2個元素的序列。

推廣可知，在確定前i（iq1, aq2, ..., aq3}（aq1

q2<...qm）中，以aqj作為第i+1個元素的序列一定小於以aqj+1作為第i+1個元素的序列。由此可知：在確定前i個元素後，一共可生成s!種連續大小的序列。

根據以上分析，對於給定的n（必有n<=m!）可以從第1位開始向右逐位地確定每一位元素。在第1位不變的前題下，後面m-1位一共可以生成(m-1)!中連續大小的序列。若n>(m-1)!，則第1位不會是a1，n中可以容納x個(m-1)!即代表第1位是ax。在確定第1位後，將第1位從原集合中刪除，得到新的集合（aq1

q2<...qm），然後令n1=n-x(m-1)!，求這m-1個數中生成的第n1個序列的第1位。

舉例說明：如7個數的集合為，要求出第n=1654個排列。

(1654 / 6!)取整得2，確定第1位為3，剩下的6個數，求第1654 % 6!=214個序列；

(214 / 5!)取整得1，確定第2位為2，剩下5個數，求第214 % 5!=94個序列；

(94 / 4!)取整得3，確定第3位為6，剩下4個數，求第94 % 4!=22個序列；

(22 / 3!)取整得3，確定第4位為7，剩下3個數，求第22 % 3!=4個序列；

(4 / 2!)得2，確定第5為5，剩下2個數；由於4 % 2!=0，故第6位和第7位為增序<1 4>；

因此所有排列為：3267514。

2. 給定一種排列，如何算出這是第幾個排列呢？

和前乙個問題的推導過程相反。例如3267514：

後6位的全排列為6!，3為中第2個元素（從0開始計數），故2*720=1440；

後5位的全排列為5!，2為中第1個元素，故1*5!=120；

後4位的全排列為4!，6為中第3個元素，故3*4!=72；

後3位的全排列為3!，7為中第3個元素，故3*3!=18；

後2位的全排列為2!，5為中第2個元素，故2*2!=4；

最後2位為增序，因此計數0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

123 4567 891011 1213 1415 1617

18

// next_permutation example
#include 
// std::cout
#include 
// std::next_permutation, std::sort
int main () ;
std::sort (myints,myints+3);
std::cout << "the 3! possible permutations with 3 elements:\n";
do while ( std::next_permutation(myints,myints+3) );
std::cout << "after loop: "
<< myints[0] << ' '
<< myints[1] << ' '
<< myints[2] << '\n';
return 0;
}

edit & run

output:

the 3! possible permutations with 3 elements:

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

after loop: 1 2 3

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