動態規劃詳解帶例子

動態規劃之例項一

如果我們有面值為1元、3元和5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？ (表面上這道題可以用貪心演算法，但貪心演算法無法保證可以求出解，比如1元換成2元的時候)

首先我們思考乙個問題，如何用最少的硬幣湊夠i元(i<11)？為什麼要這麼問呢？兩個原因：1.當我們遇到乙個大問題時，總是習慣把問題的規模變小，這樣便於分析討論。 2.這個規模變小後的問題和原來的問題是同質的，除了規模變小，其它的都是一樣的，本質上它還是同乙個問題(規模變小後的問題其實是原問題的子問題)。

好了，讓我們從最小的i開始吧。當i=0，即我們需要多少個硬幣來湊夠0元。由於1，3，5都大於0，即沒有比0小的幣值，因此湊夠0元我們最少需要0個硬幣。 (這個分析很傻是不是？別著急，這個思路有利於我們理清動態規劃究竟在做些什麼。) 這時候我們發現用乙個標記來表示這句「湊夠0元我們最少需要0個硬幣。」會比較方便，如果一直用純文本來表述，不出一會兒你就會覺得很繞了。那麼，我們用d(i)=j來表示湊夠i元最少需要j個硬幣。於是我們已經得到了d(0)=0，表示湊夠0元最小需要0個硬幣。當i=1時，只有面值為1元的硬幣可用，因此我們拿起乙個面值為1的硬幣，接下來只需要湊夠0元即可，而這個是已經知道答案的，即d(0)=0。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。當i=2時，仍然只有面值為1的硬幣可用，於是我拿起乙個面值為1的硬幣，接下來我只需要再湊夠2-1=1元即可(記得要用最小的硬幣數量)，而這個答案也已經知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到這裡，你都可能會覺得，好無聊，感覺像做小學生的題目似的。因為我們一直都只能操作面值為1的硬幣！耐心點，讓我們看看i=3時的情況。當i=3時，我們能用的硬幣就有兩種了：1元的和3元的( 5元的仍然沒用，因為你需要湊的數目是3元！5元太多了親)。既然能用的硬幣有兩種，我就有兩種方案。如果我拿了乙個1元的硬幣，我的目標就變為了：湊夠3-1=2元需要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。這個方案說的是，我拿3個1元的硬幣；第二種方案是我拿起乙個3元的硬幣，我的目標就變成：湊夠3-3=0元需要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 這個方案說的是，我拿1個3元的硬幣。好了，這兩種方案哪種更優呢？記得我們可是要用最少的硬幣數量來湊夠3元的。所以，選擇d(3)=1，怎麼來的呢？具體是這樣得到的：d(3)=min。

package com.dp;
//應該可以優化，求大神指教
public class theminestcoin ;//取硬幣個數的最小值 動態規劃
*/public static void main(string args) ;
// 最少需要幾枚硬幣
int count=11;
numberofcoin(a, count);
} private static void numberofcoin(int a, int count) 
}system.out.println(mincoin + " i="+i);
min[i]=mincoin;//時間複雜度為o(n^2)
} system.out.println(min[11]); }}

例項2 動態規劃之最長遞增子串行

package com.dp;
public class thelargestincreamentsubstring ,其中jlis[i])
}} int max=lis[0];
for(int i=1;imax)
}system.out.println(max);
//時間複雜度為o(n^2);
//優化
liss(a);
} private static void liss(int a) else
}lis[low]=a[i];
if(low>len)len++;
} for(int i=1;i<=len;i++)} }

3.最大子陣列和

public class thelargestsubhe ; 
int a=; 
maxsubsum(a);
} private static void maxsubsum(int a) 
}

最長公共子串行

引進乙個二維陣列c，用c[i][j]記錄x[i]與y[j] 的lcs 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪乙個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。

我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據x[i] = y[j]還是x[i] != y[j]，就可以計算出c[i][j]。

遞迴式

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