動態規劃詳解

從一道題目出發：求兩個字串的最大公共子串長度，比如字串str1：bdcaba和字串str2：abcbdab的最大公共子串即為紅色部分bcba，長度為4

如何從動態規劃的思想出發解題呢，動態規劃的特點是當前最優解是從之前的子最優解和當前狀態分析得到，是一種遞推的過程，比如上述最大公共子串，對於長度為n的字串1和長度為m的字串2的最大公共子串長度記為f(n,m)，這個是動態規劃的核心，只有正確表示出了題目要求的公式才能進行下一步分析，因此，對於n-1的字串1和m-1的字串2的最大公共子串長度為f(n-1,m-1)。當求長度為n的字串1和長度為m的字串2的最大公共子串長度時，只需比較str1[n]與str2[m]，顯然如果str1[n] == str2[m]，f(n,m)=f(n-1,m-1)+1，即已解出子最優解加1；當str1[n] != str2[m]時，由於現在要求求f(n,m)，所以f(n-1,m)和f(n,m-1)已經求過了，既然str1[n]和str2[m]不相等，則必是f(n-1,m)和f(n,m-1)二者最大的那個。

通過以上分析，便可得到如下公式：

**如下

#include using namespace std;

int max_public_str1(const string& str1, const string& str2)
else
}} return p[str1.length()][str2.length()];
}

對於使用二維陣列記錄子最優解結果的方式，顯然其空間複雜度為o(n*m)，那麼能否減少空間複雜度呢，答案是肯定的。通過上述f(n,m)的計算公式，可以看出，無論str1[n]與str2[m]是否相等，f(n,m)的公式中只出現了f(n-1,m-1),f(n,m-1),f(n-1,m)這三個已經求出的值，因此，可以通過乙個2*m的二維陣列p記錄1到m長度時，與1到n的長度最大公共子串長度，這裡二維陣列p是相當於兩個長度為m的一維陣列，乙個表示前一行乙個表示當前行，並非第一行就是前一行，第二行就是當前行，而是隨著對str1字串的遍歷交替更新的，這就是滾動陣列意思。**如下：

#includeusing namespace std;

int max_public_str2(const string& str1, const string& str2)
else
}} return p[str1.length()%2][str2.length()];
}

小結：顯然直接根據題意建立對應陣列記錄結果比較容易理解，比如上述題目用二維陣列直接表達公式很容易理解，但是使用滾動陣列在理解上會有些困難。其實，滾動陣列就是直接使用陣列中的值，因此只要確保用使用的已有資料在使用前沒有改變。

還有一類動態規劃其記錄結果的陣列不適於更改為滾動陣列。

有題目出發，比如有如下題目：

有n堆石子排成一排，每堆石子有一定的數量。現要將n堆石子並成為一堆。合併的過程只能每次將相鄰的兩堆石子堆成一堆，每次合併花費的代價為這兩堆石子的和，經過n-1次合併後成為一堆。求出總的代價最小值(獲最大代價)。

假設通常其公式如下(其中min如果是max，就是求最大值)

動態規劃詳解

其實根本就談不上詳解，應該說只是隨便談談，真正能詳解動態規劃的又有幾個人，所以，這個標題略顯扯淡。前段時間一直在做關於資料結構的題，也算是對資料結構有了一定的了解，知道了有些資料結構的基本演算法。現在剛剛開始接觸動態規劃，其實寫這篇文章的初衷是一來鍛鍊一下自己的總結能力，二來也是希望通過這篇文章，來...

《動態規劃》 ACM 動態規劃例題詳解

描述 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 圖1 圖1給出了乙個數字三角形。從三角形的頂部到底部有很多條不同的路徑。對於每條路徑，把路徑上面的數加起來可以得到乙個和，你的任務就是找到最大的和。注意 路徑上的每一步只能從乙個數走到下一層上和它最近的左邊的那個數或者右邊的那個數。輸...

動態規劃詳解（2）

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