在動態規劃中，經常遇到形如下式的轉台轉移方程：
m(i,j)=min+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改為max）
上述的m(i,j)表示區間[i,j]上的某個最優值。w(i,j)表示在轉移時需要額外付出的代價。該方程的時間複雜度為o(n^3)。
下面我們通過四邊形不等式來優化上述方程，首先介紹什麼是」區間包含的單調性「和」四邊形不等式「
（1）區間包含的單調性：如果對於i≤i'（2）四邊形不等式：如果對於i≤i'下面給出兩個定理
定理一：如果上述的w函式同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函式m也滿足四邊形不等式性質。
我們再定義s(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標（即i≤k≤j時，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時有如下定理
定理二：假如m(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
好了，有了上述的兩個定理後，我們發現如果w函式滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：
m(i,j)=min+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）
由於這個狀態轉移方程列舉的是區間長度l=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長度為l-1，是之間已經計算過的，可以直接呼叫。不僅如此，區間的長度最多有n個，對於固定的長度l，不同的狀態也有n個，故時間複雜度為o(n^2)，而原來的時間複雜度為o(n^3)，實現了優化！今後只需要根據方程的形式以及w函式是否滿足兩條性質即可考慮使用四邊形不等式來優化了。
四邊形不等式
總結一下最近幾天對dp優化中的四邊形不等式的學習。證明什麼的似懂非懂，我還是太年輕了。第一種，n 2 nlogn 例題 由於許可權問題 不公開題面 就是1個體積均為1 300，100000個物品，做乙個100000的揹包。發現體積最多只有 300 種，分開做。對於同種體積的物品，顯然按照價值從大到小...
四邊形不等式
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四邊形不等式優化動態規劃學習
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