四邊形不等式優化動態規劃學習

學習了四邊形不等式，這類題的的方程通常是這樣的：

f[i,j]=opt( f[i,k-1]+f[k,j] )+cost[i,j]

【我一般理解為區間動態規劃】

應用條件是：

第一，其中的cost(i,j)是存在單調性的，即當區間[i,j]包含區間[i』,j』]時有cost(i,j)>=cost(i』,j』)

第二，設i<=i』<=j<=j』,有cost(i,j)+cost(i』,j』)<=cost(i』,j)+cost(i,j』)

如果上面兩個條件滿足的話，那麼就有以下的定理：

定理1：

f(i,j)也滿足四邊形不等式

即設i<=i』<=j<=j』,有f(i,j)+f(i』,j』)<=f(i』,j)+f(i,j』)

定理2：

設g(i,j)為當f(i,j)取最優值時的最大k值(當有多個k滿足時,取最大的k)

g(i,j)單調:g(i,j-1)<=g(i,j)<=g(i+1,j)

最後的結論就是：

求f(i,j)的時候決策k不必在[i,j]中列舉，可以在g(i,j-1)與g(i+1,j)中列舉

加入四邊形優化的**也不難，和基本的沒有什麼區別，只需要在列舉決策的時候變動下就好。

偽**模板

1 memset(f,0,sizeof(f)); memset(g,0,sizeof

(g));
2for (int i=1; i<=n; i++) 
3 g[i][i]=i;
4for (int len=1; len<=n; len++)
5for (int i=2; i<=n; i++)
615 }

【題目一】 noi 1995 合併石子（題目很好找的）

狀態轉移方程很好列出來，基本的區間動態規劃

f[i,j]=min+s[i,j]

其中s[i,j]表示i到j堆石子的累加和，很明顯滿足四邊形不等式，所以f[i,j]也滿足凸性[即四邊形不等式]

這樣我們如果用p[i,j]表示最優決策的話，那麼一定有p[i,j-1]<=p[i,j]<=p[i+1,j],這樣就做到了優化程式。

合併石子四邊形不等式優化

1 #include 234

5#define maxn 102467
#define oo 20000000089
1011
using
namespace
std;
1213
1415
intn,i,j,k,len;
1617
intnum[maxn], sum[maxn];
1819
intf[maxn][maxn],s[maxn][maxn];
2021
2223
intmain()
2425
4849
5051
for (len=2; len<=n; len++)
5253
for (i=1; i<=n-len+1; i++)
5455
7475}76
7778
79 printf("
%d\n
", f[1
][n]);
8081
8283
return0;
8485 }

題解這個人寫的很好，我算是跟著寫的，用到了一點兒變形

poj 1160

1 #include 2 #include 3

4#define oo 1000000000
5#define maxn 31067
using
namespace
std;89
intn,m,i,j;
10int
f[maxn][maxn],w[maxn][maxn];
11int
v[maxn],s[maxn][maxn];
1213
intmain()
1426
27for(i = 1 ; i <= n ; i ++)
2832
33for(i = 2 ; i <= m ; i ++)
3445}46
}47 printf("
%d\n
",f[n][m]);
48return0;
49 }

四邊形不等式優化

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