如何計算演算法的時間複雜度

時間複雜度的定義

一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t(n)表示，

若有某個輔助函式f(n)，使得當n趨近於無窮大時，t(n)/f(n)的極限值為不等於零

的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n))，稱o(f(n))為演算法的漸進

時間複雜度(o是數量級的符號 )，簡稱時間複雜度。

根據定義，可以歸納出基本的計算步驟

計算出基本操作的執行次數t(n)

基本操作即演算法中的每條語句（以;號作為分割），語句的執行次數也叫做語句的頻度。在做演算法分析時，一般預設為考慮最壞的情況。

令f(n)=t(n)的數量級。

用大o來表示時間複雜度

當n趨近於無窮大時，如果lim(t(n)/f(n))的值為不等於0的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n))。

乙個示例：

(1) int num1, num2;
(2) for(int i = 0; i < n; i++)
(7) }

分析：

1. 語句int num1, num2;的頻度為1；

語句i=0;的頻度為1；

語句i < n; i++; num1 += 1; j = 1; 的頻度為n；

語句j<=n; j *= 2; num2 += num1;的頻度為n*log2n；

t(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

2. 忽略掉t(n)中的常量、低次冪和最高次冪的係數

f(n) = n*log2n

3. lim(t(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)

= 2*(1/n)(1/log2n) + 4(1/log2n) + 3

當n趨向於無窮大，1/n趨向於0，1/log2n趨向於0

所以極限等於3。

t(n) = o(n*log2n)

簡化的計算步驟

再來分析一下，可以看出，決定演算法複雜度的是執行次數最多的語句，這裡是num2 += num1，一般也是最內迴圈的語句。

並且，通常將求解極限是否為常量也省略掉？

於是，以上步驟可以簡化為：

1. 找到執行次數最多的語句 2. 計算語句執行次數的數量級 3. 用大o來表示結果

繼續以上述演算法為例，進行分析：

1. 執行次數最多的語句為num2 += num1

2. t(n) = n*log2n

f(n) = n*log2n

3. // lim(t(n)/f(n)) = 1

t(n) = o(n*log2n)

複雜情況的分析

以上都是對於單個巢狀迴圈的情況進行分析，但實際上還可能有其他的情況，下面將例舉說明。

1.並列迴圈的複雜度分析

將各個巢狀迴圈的時間複雜度相加。

例如：

for (i=1; i
<=n; i++)
x++;
for (i=1; i
<=n; i++)
for (j=1; j
<=n; j++)
x++;

解：

第乙個for迴圈

t(n) = n

f(n) = n

時間複雜度為ο(n)

第二個for迴圈

t(n) = n2

f(n) = n2

時間複雜度為ο(n2)

整個演算法的時間複雜度為ο(n+n2) = ο(n2)。

2.函式呼叫的複雜度分析

例如：

public
void printsum(int
count) 
system.out.print(sum);
}

分析：

記住，只有可執行的語句才會增加時間複雜度，因此，上面方法裡的內容除了迴圈之外，其餘的可執行語句的複雜度都是o(1)。

所以printsum的時間複雜度 = for的o(n)+o(1) = 忽略常量 = o(n)

這裡其實可以運用公式 num = n*(n+1)/2，對演算法進行優化，改為：

public void printsum(int count)

這樣演算法的時間複雜度將由原來的o(n)降為o(1)，大大地提高了演算法的效能。

3.混合情況（多個方法呼叫與迴圈）的複雜度分析

例如：

public void suixiangmethod(int n)

for(int i = 0; i < n; i++)

} }

suixiangmethod 方法的時間複雜度需要計算方法體的各個成員的複雜度。

也就是1.1+1.2+1.3 = o(1)+o(n)+o(n2) —-> 忽略常數和非主要項 == o(n2)

更多的例子

o(1)

交換i和j的內容

temp=i;

i=j;

j=temp;

以上三條單個語句的頻度為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

o(n2)

sum=0； /* 執行次數1 */

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

sum++； /* 執行次數n2 */

解：t(n) = 1 + n2 = o(n2)

for (i = 1; i < n; i++)

解：語句1的頻度是n-1

語句2的頻度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1

t(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2

f(n) = n2

lim(t(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2

t(n) = o(n2).

o(n)

a=0;

b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

解：語句1的頻度：2,

語句2的頻度：n,

語句3的頻度：n,

語句4的頻度：n,

語句5的頻度：n,

t(n) = 2+4n

f(n) = n

lim(t(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4

t(n) = o(n).

o(log2n)

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解：語句1的頻度是1,

設語句2的頻度是f(n), 則：i * 2^f(n) <= n;又i=1; 故f(n)<=log2n

考慮最壞情況，取最大值f(n)=log2n,

t(n) = 1 + log2n

f(n) = log2n

lim(t(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1

t(n) = o(log2n)

o(n3)

for(i=0;i < n;i++) }

解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,…,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次

t(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2

f(n) = n3

所以時間複雜度為o(n3)。

**遞迴樹法：

用遞迴樹法求t(n) = t(n/2) + n2 , 用遞迴樹法將該遞迴式展開

像這樣將遞迴樹展開並延伸下去，最終到葉子節點就只剩下t(1)，那麼該遞迴樹的高度就是logn，因為從頂點n出發，到n/2,到n/4,……最後到1，那麼從n到1的折半次數是logn，即高度是logn（假設高度h，由（n/(2^h)）^2 = 1得到h=lgn）。而最下面葉子節點的數目是n，因為從第一層往下，節點數變化為1,2,4,8……，如果樹的高度是h，那麼就會有2^h個葉節點，而高度是logn，那麼2^logn=n。那麼，整體所做的工作加起來就是t(n)了

t(n) = [1+1/2+1/4+……+1/(2^lgn)]n2 = 2*n^2 - n,於是可知時間複雜度為t(n) = o(n2)。

參考：

如何計算演算法的時間複雜度

如何計算演算法的時間複雜度

計算演算法複雜度

如何計算演算法的時空複雜度

如何計算演算法的時間複雜度

如何計算演算法的時間複雜度

計算演算法複雜度

如何計算演算法的時空複雜度

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