證明比較繁瑣，仔細檢查了應該沒有大錯，記錄一下證明過程。
在有向圖中，強連通分量的定義是：有向圖的某個子圖，其中任意兩個點之間可以互達。
定理1：乙個完整的強連通分量一定包含在一棵深度優先搜尋樹中。
定理2：子圖是強連通分量<=>子圖中的每一條路徑都歸屬於乙個環狀（除非只有乙個點）。
證明：根據強連通分量的定義，任意兩個點之間可以互達，所以等價於任意兩個點之間的路徑是乙個環的一部分。
假設圖有n
個節點，
m條邊。該演算法可以在o（
n+m）的時間複雜度中輸出所有強連通分量。
tarjan演算法是在深度優先搜尋的基礎上進行的。
首先演算法有3
個資料結構：
dfn[n] 儲存每乙個節點訪問過程中的時間戳
time_stamp
low[n] 儲存每乙個節點在深度優先搜尋的子孫中
time_stamp
的最小值（搜尋的過程中會由於遇到迴路，訪問到之前訪問過的節點，所以子孫的
time_stamp
可能比該節點小）
stack，存放已經訪問的節點。
tarjan演算法流程：
使用遞迴的方法進行深度優先搜尋
int tarjan( int index ) else if(v沒在
stack
中 &&
沒有訪問過)
} if( dfn[index] == low[index] )
} return low[index];
}
1.為什麼紅字部分出棧的是乙個強連通分支：
根據定理2
，等價於證明，出棧的部分，節點路徑都是某個環的一部分。
已知：目前棧內的將出棧部分，假如節點下標為i
，則一定有
dfn[i]>=low[i]
（當且僅當
i=最後乙個出棧的節點下標時取等號）。
運用反證法：假如有某條路徑不屬於某個環，如下圖中的路徑b->a
，則這段路徑的末端點a的dfn[a] = low[a],
且該點是出棧的某條路徑的末端點，而不是初始點，所以不可能是最後出棧的那個點，和已知矛盾。所以，出棧的任意一條路徑都屬於某個環，即出棧的子圖是乙個強連通分量。
2.為什麼紅字部分出棧的強連通分支是完整的：
假設出棧的部分不完整，則本應該在這次出棧的點可能存在於棧的哪些部分呢？
1.之前出棧的部分
2.還沒有入棧的部分
3.還沒有出棧的部分
首先看2，不可能。因為假如沒有入棧，說明這些點沒有在這棵深度優先搜尋樹中，假如這些點在本該在該強連通分量中，則和定理1相違背，所以情況2中不可能包含本應該出棧的強連通分量中的點。
再看3，也不可能。3中的點的dfn 和 low都分別小於本次出棧的點的dfn和low，也就說明本次出棧的點都無法訪問到還沒有出棧的點，所以情況3中不可能包含本應該出棧的強連通分量中的點。
最後看情況1，其實情況1和情況3是類似的，之前出棧的部分a如果和本次出棧的強連通分量b可以組成更大的強連通分量，這就等價於，以之前出棧的強連通分量a為視角，亦是說a是不完整的，a中缺少的部分在還未出棧的節點和還沒有訪問的節點之中。這和之前的情況2，情況3推導矛盾，所以，情況1也不可能。
所以綜上所述，紅字部分出棧的強連通分支是完整的。
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