最短路徑演算法

求圖中某點v0

到其它所有點的最短路徑長度

（1）在集合v−

u 中選擇距離值最小的頂點vm

in加入集合

u ；

（2）對集合v−

u 中各頂點的距離值進行修正：如果加入頂點vm

in為中間頂點後，是v0

到vi 的距離值比原來的距離值更小，則修改vi

的距離值。

（3）重複（1）（2）中的操作，直到從v0

出發可以到達的所有頂點都在集合

u 中為止。

鄰接矩陣形式，複雜度為o(

n2)(權值必須非負)

#define max 1010
int dist[max]; //儲存最短路徑 
int arcs[max][max]; //鄰接矩陣 
int pre[maxn]; //儲存前驅節點
void dijkstra(int n)
}if(k == 0)
continue;
arcs[k][k] = 1;
for(int j=1; j<=n; j++)}}
}

1.初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 dist[v] ←+∞, dist[start] ←0;

2.迭代求解：反覆對邊集e中的每條邊進行鬆弛操作，使得頂點集v中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（執行|v|-1次）

3.檢驗負權迴路：判斷邊集e中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則演算法返回false，表明問題無解；否則演算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離儲存在 dist[v]中。

bellman-ford演算法與dijkstra演算法的區別：dijkstra演算法在求解過程中，源點到集合s內各頂點的最短路徑一旦求出，則之後不變了，修改的僅僅是源點到t集合中各頂點的最短路徑長度。bellman演算法在求解過程中，每次迴圈都要修改所有頂點的dist，也就是說源點到各頂點最短路徑長度一直要到bellman演算法結束才確定下來。

bellman-ford演算法判斷是否存在從源點可達的負權值迴路的方法：在做完n-1次迴圈操作後，再對每條邊 < u,v > 判斷一下，加入這條邊是否會使得頂點v的最短路徑再縮短，即判斷：dist[u]+w(u,v) < dist[v]是否成立，如果成立，則說明存在從源點可達的負權值迴路。

演算法複雜度為o(

ve) ，邊的權值可以為負

#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 100010
int dist[maxn]; //儲存最短路徑
struct edge;
vector
e; //邊集
bool bellman_ford(int start, int n)
}if(!flag) //提前做完，無負權迴路
return
true;
}for(int i=0; i//檢查是否有負權迴路
if(dist[e[i].v] > dist[e[i].u]+e[i].cost)
return
false;
return
true;
}

1.初始化： dist陣列全部賦值為inf（無窮大）；然後dist[start]=0; 表示源點不用求最短路徑，或者說最短路就是0。將源點入隊；（另外記住在整個演算法中有頂點入隊了要記得標記vis陣列，cnt陣列加1，有頂點出隊了記得消除那個標記）

2.佇列+鬆弛操作：讀取隊頭頂點u，並將隊頭頂點u出隊（記得消除標記）；將與點u相連的所有點v進行鬆弛操作，如果能更新估計值（即令dist[v]變小），那麼就更新，另外，如果點v沒有在佇列中，那麼要將點v入隊（記得標記），如果已經在佇列中了，那麼就不用入隊以此迴圈，直到隊空為止就完成了單源最短路的求解。

負權迴路判斷：若乙個點入隊次數超過n，則有負權環。

演算法平均複雜度為： o(

ke) ，k的平均值為2。（允許邊權值為負值）

#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 100010
int vis[maxn]; //入隊標誌 
int cnt[maxn]; //入隊次數 
int dist[maxn]; //最短路徑 
struct edge;
vector
e[maxn]; //儲存邊集 
bool spfa(int start, int n)}}
}return
true;
}

1.定義概覽

floyd-warshall演算法（floyd-warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。floyd-warshall演算法的時間複雜度為o(n3)，空間複雜度為o(n2)。

2.演算法描述

1)演算法思想原理：

floyd演算法是乙個經典的動態規劃演算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做乙個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）

從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每乙個節點k，我們檢查dis(i,k) + dis(k,j) < dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設定dis(i,j) = dis(i,k) + dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

2).演算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。　　

b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在乙個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

#define maxn 10001
int path[maxn][maxn] //儲存路徑
int dist[maxn][maxn] //儲存最短路徑長度
void floyd(int n) 
}

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