MIT HAKMEM演算法分析

2021-07-04 22:54:24 字數 2417 閱讀 6971

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問題需求:計算32位整型數中的'1'的個數

思路分析:

1.整型數 i 的數值,實際上就是各位乘以權重——也就是乙個以2為底的多項式:

i = a0*2^0+a1*2^1+a2*2^2+...

因此,要求1的位數,實際上只要將各位消權:

i = a0+a1+a2+...

所得的係數和就是'1'的個數。

2.對任何自然數n的n次冪,用n-1取模得數為1,證明

若 n^(k-1) % (n-1) = 1 成立

則 n^k % (n-1) = ((n-1)*n^(k-1) + n^(k-1)) % (n-1) = 0 + n^(k-1) % (n-1)  = 1 也成立

又有 n^(1-1) % (n-1) = 1

故對任意非負整數n, n^n %(n-1)=1

3.因此,對乙個係數為的以n為底的多項式p(n), p(n)%(n-1) = (sum()) % (n-1) ;

如果能保證sum() < (n-1),則 p(n)%(n-1) = (sum())  ,也就是說,此時只要用n-1對多項式取模,就可以完成消權,得到係數和。

於是,問題轉化為,將以2為底的多項式轉化為以n為底的多項式,其中n要足夠大,使得n-1 > sum()恆成立。

32位整型數中ai=0或1,sum()<=32。n-1 > 32 ,n需要大於33。

因此取n=2^6=64>33作為新多項式的底。

4.將32位二進位制數的每6位作為乙個單位,看作以64為底的多項式:

i = t0*64^0 + t1*64^1 + t2*64^2 + t3*64^3 + ...

各項的係數ti就是每6位2進製數的值。

這樣,只要通過運算,將各個單位中的6位數變為這6位中含有的'1'的個數,再用63取模,就可以得到所求的總的'1'的個數。

5.取其中任意一項的6位數ti進行考慮,最簡單的方法顯然是對每次對1位進行mask然後相加,即

(ti>>5)&(000001) + (ti&>>4)(000001) + (ti>>3)&(000001) + (ti>>2)&(000001) + (ti>>1)&(000001) + ti&(000001)

其中000001位2進製數

由於ti最多含有6個1,因此上式最大值為000110,絕不會產生溢位,所以上式中的操作完全可以直接對整型數 i 進行套用,操作過程中,t0~t6將並行地完成上式的運算。

注意:不能將&運算提取出來先+後&,想想為什麼。

因此,bit count的實現**如下:

[cpp]view plain

copy

intbitcount(unsigned 

intn)    

但mit hakmem最終的演算法要比上面的**更加簡單一些。

為什麼說上面的式子中不能先把(ti>>k)都先提取出來相加,然後再進行&運算呢?

因為用&(000001)進行mask後,產生的有效位只有1位,只要6位數中的'1'個數超過1位,那麼在"先加"的過程中,得數就會從最低位中向上溢位。

但是我們注意到,6位數中最多只有6個'1',也就是000110,只需要3位有效位。上面的式子實際上是以1位為單位提取出'1'的個數再相加求和求出6位中'1'的總個數的,所以用的是&(000001)。如果以3位為單位算出'1'的個數再進行相加的話,那麼就完全可以先加後mask。演算法如下:

tmp = (ti>>2)&(001001) + (ti>>1)&(001001) + ti&(001001)

(tmp + tmp>>3)&(000111)

c**:

[cpp]view plain

copy

intbitcount(unsigned 

intn)    

注:**中是使用8進製數進行mask的,11位8進製數為33位2進製數,多出一位,因此第一位八進位制數會把最高位捨去(7->3)以免超出int長度。

從第乙個版本到第二個實際上是乙個「提取公因式」的過程。用1組+, >>, &運算代替了3組。並且已經提取了"最大公因式"。然而這仍然不是最終的mit hakmem演算法,不過已經非常接近了,看看**吧。

mit hakmem演算法:

[cpp]view plain

copy

intbitcount(unsigned 

intn)    

又減少了一組+, >>, &運算。被優化的是3位2進製數「組」內的計算。再回到多項式,乙個3位2進製數是4a+2b+c,我們想要求的是a

+b+c,n>>1的結果是2a+b,n>>2的結果是a。

於是: (4a+2b+c) - (2a+b) - (a) = a + b + c

中間的mask是為了遮蔽"組間""串擾",即遮蔽掉從左邊組的低位移動過來的數

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