meet in the middle(有時候也叫作split and merge)是一種用以獲取足夠高效解決方案的靈巧的思想。和分治思想非常類似，它將問題分割成兩個部分，然後試著合併這兩個子問題的結果。好處在於通過使用一點額外的空間，你可以解決兩倍規模的原來可以解決的問題。
4和問題（流行的面試問題）
給定乙個整數陣列a，問陣列中是否存在4個數，使得這4個數的和是0（同乙個元素可以被多次使用）。例如：陣列a = [2, 3, 1, 0, -4, -1]，一種可能的方案是3 + 1 + 0 - 4 = 0 或 0 + 0 + 0 + 0 = 0。
樸素的演算法是判斷所有可能的4個數的組合，這種方案需要計算o(n^4)次。
乙個些微改進的演算法是暴力搜尋所有的可能的n^3個3個數的組合，並且用hash表來判斷-(a+b+c)是否在原始的陣列中。這個演算法的複雜度是o(n^3)
到目前為止,你可能想知道meet in the middle在這裡要怎麼應用，最關鍵的洞察來自於改寫a + b + c + d = 0 成 a + b = -(c + d)。現在我們可以儲存n^2個a+b的和在乙個hash表s中，然後可以列舉所有可能c和d的n^2種組合並且判斷s中是否包括-(c+d)。
**看起來這樣：
def 4sum(a):
sums = {}
for a in a:
for b in a:
sums[a + b] = (a, b)
for c in a:
for d in a:
if -(c + d) in sums:
print (sums[-(c + d)][0], sums[-(c + d)][1], c, d)
return
print "no solution."
雙向搜尋
在乙個很大的圖中找到兩個點的最短路徑，比如說facebook的朋友關係圖（友誼圖）。
寬度優先搜尋演算法是這個問題的標準方法。假設這兩個節點之間之間的距離是k，並且網路中點的平均度數是p，那麼bfs演算法需要擴充套件o(p^k)個節點。
乙個更好的方案是同時從兩個節點開始搜尋，並且看什麼時候這兩個搜尋的邊界相遇。這個可以將需要擴充套件的節點降低到o(p^(k/2))。這個方案在尋路問題表現很好，包括明確的圖以及遊戲中遇到的不明確的圖。
破解2des加密
des是一種使用56bit金鑰的加密標準。今天計算機可以使用暴力搜尋的方法來破解加密。一種簡單的使得加密演算法更安全的方法是應用兩次加密，使用兩個不同的金鑰。這種方法容易受到diffile-hellman發明的中間者攻擊。3des工作的原理是通過用2個金鑰對明文進行3次加密。
我們來看看為什麼2des是容易受到攻擊的。假設ek是金鑰為k的加密函式，dk是金鑰為k的解密函式。2des演算法使用兩個金鑰k和k，ek(ek(p)) = s是乙個加密過程，並且dk(dk(s)) = p是乙個解密。
diffie-hellman的中間相遇攻擊用空間換取時間來找到這兩個金鑰。對於p，嘗試所有可能的金鑰可以取得對應的多個ek(p)的集合。同樣地，對於s可以用所有可能的金鑰來解密，取得所有可能dk(s)的集合。如果我們能夠在這兩個集合中找到匹配的一對，也就是說eki(p) = dkj(s)，那麼金鑰就是ki和kj。
樸素的暴力演算法需要2^56*2^56次迭代來遍歷所有可能的k1和k2的值，而這個演算法使用2^56*56的空間來儲存所有的eki(p)，並且2^56個操作來找到匹配。
這個是相當多的空間和相當多的計算時間。但對於乙個足夠大的公司或者國家，它就變得非常可能的範疇。
2001的國際奧賽的問題double要求破解24金鑰長度的2des就是非常可行的。
離散對數演算法
給定乙個素數n和p,q兩個數，0 <= p,q <= n-1，找到k使得p^k = q(mod n)。
樸素的演算法是遍歷所有可能的k的值，複雜度為o(n)。
baby-step, giant-step演算法使用了mitm，更高效地解決了這個問題。
記k = i[sqrt(n)] + j，i <= sqrt(n)且j <= sqrt(n)。替換等式中的k，我們有p^(i*[sqrt(n)] + j) = q(mod n)，然後兩邊同除以p^j有：p^(i*sqrt(n)) = q*p^(-j) (mod n)
在這個時候，我們可以暴力搜尋等式兩邊並且找到乙個碰撞。
這個演算法需要o(sqrt(n))的空間和o(sqrt(n))的時間
警告
與分治不同，mitm不能用於遞迴，因為子問題和原問題沒有相同的結構。雙向搜尋在很多時候可以用其他的啟發式搜尋演算法來代替。
附加問題
1.朋友的朋友(面試問題)
給定社交網路中的兩個名字，設計乙個有效的方法，判斷其中乙個是否是另外乙個的朋友的朋友
2.6度空間(6度間隔/6度分割)
給定社交網路中的兩個名字，設計乙個有效的方法，判斷這兩個人是否最多相隔6個朋友
演算法的一些思想
目錄 0.總1.乘除法慢與加減法 2.窮舉演算法思想 3.遞推演算法思想 4.遞迴演算法思想 5.分治演算法思想 6.概率演算法思想 7.貪心演算法思想並不貪婪 追求最優求解，但不一定是能找到最優解 8.試探法演算法思想是一種委婉的做法 也叫回溯法 9.迭代演算法 輾轉法 10.動態規劃 五種基本演...
C 程式設計的一些思想
看完c primer後，了解了c 的語法，但我想往思想，設計方面深究，所以我選擇了看c 程式設計思想。以下是第一章中我記下的筆記。oop 物件導向的程式設計 重用乙個類最簡單的方法就是直接使用這個類的物件，並且還可以講這個類的物件放到乙個新類的裡面。可以用任何數量和型別的其他物件組成新類，通過組合得...
程式中的一些思想
看過mooc上的闞道巨集的c 課程，感覺講語法方面基本上是照本宣科，但是談到的幾個程式思維讓人眼前一亮。後續有新的感悟將不定期跟新。結合自己的理解，記錄如下 1.關於遞推 recursion 和遞迴 regression 兩者是相反的思維，recursion是已知問題n，由解決問題1開始，不斷由簡到...