一些資料結構的思想 3

假設你希望以各1/2的概率輸出0和1.你可以自由使用乙個輸出0或1的過程biased-random。它以概率p輸出1，以概率1 - p輸出0，其中 0 < p < 1，但是你並不知道p的值。給出乙個利用biased-random作為子程式的演算法，返回乙個無偏向的結果，即以概率1/2返回0，以概率1/2返回1。作為p的函式，你的演算法的期望執行時間是多少？

演算法分析：

已知biased-random可產生0和1，那麼 1 - biased-random也產生1和0，且以1 - p的概率輸出1，以p的概率輸出0。

如果我們將1 - biased-random看做另外乙個函式發生器，和biased-random組合成對被呼叫，有以下結論：

呼叫結果　　　　00　　　　　　01　　　　　10　　　　11

1的個數　　　　0 1　　　　　　1　　　　2

出現概率 (1-p)*(1-p)　　(1-p)*(1-p)　　p*p　　p*(1-p)

那麼，進行一次呼叫，出現1的個數的期望值為： 0 * (1-p)*(1-p)　+ 1 *　(1-p)*(1-p)　+ 1 *　p*p　+ 2 *　p*(1-p) = 1。進行4次成對呼叫，則1的期望個數為4。為什麼要呼叫4次呢？因為biased-random產生0的概率和 1 - biased-random產生1的概率相等；biased-random產生1的概率和 1 - biased-random產生0的概率相等，那麼4次剛好覆蓋了所有組合對（00,01,10,11），也可進行8次，16次等呼叫。當進行4次成對呼叫後，統計1出現的個數，若小於4次，則返回0；大於4次，則返回1（這裡相當於將4次呼叫封裝為了乙個函式）。但有個問題，等於4次該返回0還是1呢？（因為1的可能次數為0至8）所以，可進行大量成對呼叫，以使單個現象可被忽略。如，進行1024次呼叫，統計1的個數，小於1024返回0，否則返回1。

題目：已知一隨機發生器，產生0的概率是p，產生1的概率是1-p，現在要你構造乙個發生器，使得它構造0和1的概率均為1/2

解決方案：

這是隨機概率發生器的典型題目。

由於需要產生1/2，而用1位0，或1位1無法產生等概率，因此，考慮將隨機數擴充套件成2位：

00 p*p

01 p*(1-p)

10 (1-p)*p

11 (1-p)*(1-p)

有上述分析知道，01和10是等概率的，因此我們只需要產生01和10就行了。

於是可以，遇到00和11就丟棄，只記錄01和10。可以令，01表示0,10表示1，則等概率1/2產生0和1了。

擴充套件：

已知一隨機發生器，產生0的概率是p，產生1的概率是1-p，現在要你構造乙個發生器，使得它構造0和1的概率均為1/2；構造乙個發生器，使得它構造1、2、3的概率均為1/3；...，構造乙個發生器，使得它構造1、2、3、...n的概率均為1/n，要求複雜度最低。

解答：對n=2，認為01表示0、10表示1，等概率，其他情況放棄

對n=3，認為001表示1、010表示2，100表示3，等概率，其他情況放棄

對n=4，認為0001表示1、0010表示2，0100表示3，1000表示4，等概率，其他情況放棄

首先是1/2的情況，我們一次性生成兩個數值，如果是00或者11丟棄，否則留下，01為1，10為0，他們的概率都是p*(1-p)是相等的，所以等概率了。然後是1/n的情況了，我們以5為例，此時我們取x=2，因為c(2x,x)=c(4,2)=6是比5大的最小的x，此時我們就是一次性生成4位二進位制，把1出現個數不是2的都丟棄，這時候剩下六個:0011,0101,0110,1001,1010,1100，取最小的5個，即丟棄1100，那麼我們對於前5個分別編號1到5，這時候他們的概率都是p*p*(1-p)*(1-p)相等了。

關鍵是找那個最小的x，使得c(2x,x)>=n這樣能提公升查詢效率

數學常數最令人著迷的就是，它們常常出現在一些看似與之毫不相干的場合中。隨便取乙個 0 到 1 之間的數，再加上另乙個 0 到 1 之間的隨機數，然後再加上乙個 0 到 1 之間的隨機數⋯⋯直到和超過 1 為止。乙個有趣的問題：平均需要加多少次，才能讓和超過 1 呢？答案是 e 次。

為了證明這一點，讓我們先來看乙個更簡單的問題：任取兩個 0 到 1 之間的實數，它們的和小於 1 的概率有多大？容易想到，滿足 x+y<1 的點 (x, y) 佔據了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面積，因此這兩個實數之和小於 1 的概率就是 1/2 。類似地，三個數之和小於 1 的概率則是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在單位立方體中截得的乙個三稜錐。這個 1/6 可以利用截面與底面的相似比關係，通過簡單的積分求得：

可以想到，四個 0 到 1 之間的隨機數之和小於 1 的概率就等於四維立方體一角的「體積」，它的「底面」是乙個體積為 1/6 的三維體，在第四維上對其進行積分便可得到其「體積」

∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

依此類推， n 個隨機數之和不超過 1 的概率就是 1/n! ，反過來 n 個數之和大於 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 個數才剛好超過 1 的概率就是

(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

因此，要想讓和超過 1 ，需要累加的期望次數為

∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

求下面函式的返回值(微軟) -- 統計1的個數

int func(int
x) 
return
countx;
}

假定x = 9999

答案: 8

思路: 將x轉化為2進製，看含有的1的個數。

注:每執行一次x = x&(x-1)，會將x用二進位制表示時最右邊的乙個1變為0，因為x-1將會將該位(x用二進位制表示時最右邊的乙個1)變為0。

判斷乙個數(x)是否是2的n次方

#include int func(int
x)int
main()

注:(1)如果乙個數是2的n次方，那麼這個數用二進位制表示時其最高位為1，其餘位為0。(2)== 優先順序高於&

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