一些資料結構的思想 3

2022-02-17 03:37:58 字數 3345 閱讀 4105

假設你希望以各1/2的概率輸出0和1.你可以自由使用乙個輸出0或1的過程biased-random。它以概率p輸出1,以概率1 - p輸出0,其中 0 < p < 1,但是你並不知道p的值。給出乙個利用biased-random作為子程式的演算法,返回乙個無偏向的結果,即以概率1/2返回0,以概率1/2返回1。作為p的函式,你的演算法的期望執行時間是多少?

演算法分析:

已知biased-random可產生0和1,那麼 1 - biased-random也產生1和0,且以1 - p的概率輸出1,以p的概率輸出0。

如果我們將1 - biased-random看做另外乙個函式發生器,和biased-random組合成對被呼叫,有以下結論:

呼叫結果    00      01     10    11

1的個數     0   1      1     2

出現概率   (1-p)*(1-p)  (1-p)*(1-p)  p*p  p*(1-p)

那麼,進行一次呼叫,出現1的個數的期望值為: 0 * (1-p)*(1-p) + 1 * (1-p)*(1-p) + 1 * p*p + 2 * p*(1-p) = 1。進行4次成對呼叫,則1的期望個數為4。為什麼要呼叫4次呢?因為biased-random產生0的概率和 1 - biased-random產生1的概率相等;biased-random產生1的概率和 1 - biased-random產生0的概率相等,那麼4次剛好覆蓋了所有組合對(00,01,10,11),也可進行8次,16次等呼叫。當進行4次成對呼叫後,統計1出現的個數,若小於4次,則返回0;大於4次,則返回1(這裡相當於將4次呼叫封裝為了乙個函式)。但有個問題,等於4次該返回0還是1呢?(因為1的可能次數為0至8)所以,可進行大量成對呼叫,以使單個現象可被忽略。如,進行1024次呼叫,統計1的個數,小於1024返回0,否則返回1。

題目:已知一隨機發生器,產生0的概率是p,產生1的概率是1-p,現在要你構造乙個發生器,使得它構造0和1的概率均為1/2

解決方案:

這是隨機概率發生器的典型題目。

由於需要產生1/2,而用1位0,或1位1無法產生等概率,因此,考慮將隨機數擴充套件成2位:

00   p*p

01  p*(1-p)

10  (1-p)*p

11 (1-p)*(1-p)

有上述分析知道,01和10是等概率的,因此我們只需要產生01和10就行了。

於是可以,遇到00和11就丟棄,只記錄01和10。可以令,01表示0,10表示1,則等概率1/2產生0和1了。

擴充套件:

已知一隨機發生器,產生0的概率是p,產生1的概率是1-p,現在要你構造乙個發生器,使得它構造0和1的概率均為1/2;構造乙個發生器,使得它構造1、2、3的概率均為1/3;...,構造乙個發生器,使得它構造1、2、3、...n的概率均為1/n,要求複雜度最低。

解答:對n=2,認為01表示0、10表示1,等概率,其他情況放棄

對n=3,認為001表示1、010表示2,100表示3,等概率,其他情況放棄

對n=4,認為0001表示1、0010表示2,0100表示3,1000表示4,等概率,其他情況放棄

首先是1/2的情況,我們一次性生成兩個數值,如果是00或者11丟棄,否則留下,01為1,10為0,他們的概率都是p*(1-p)是相等的,所以等概率了。然後是1/n的情況了,我們以5為例,此時我們取x=2,因為c(2x,x)=c(4,2)=6是比5大的最小的x,此時我們就是一次性生成4位二進位制,把1出現個數不是2的都丟棄,這時候剩下六個:0011,0101,0110,1001,1010,1100,取最小的5個,即丟棄1100,那麼我們對於前5個分別編號1到5,這時候他們的概率都是p*p*(1-p)*(1-p)相等了。

關鍵是找那個最小的x,使得c(2x,x)>=n這樣能提公升查詢效率

數學常數最令人著迷的就是,它們常常出現在一些看似與之毫不相干的場合中。 隨便取乙個 0 到 1 之間的數,再加上另乙個 0 到 1 之間的隨機數,然後再加上乙個 0 到 1 之間的隨機數⋯⋯直到和超過 1 為止。乙個有趣的問題:平均需要加多少次,才能讓和超過 1 呢?答案是 e 次。

為了證明這一點,讓我們先來看乙個更簡單的問題:任取兩個 0 到 1 之間的實數,它們的和小於 1 的概率有多大?容易想到,滿足 x+y<1 的點 (x, y) 佔據了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面積,因此這兩個實數之和小於 1 的概率就是 1/2 。類似地,三個數之和小於 1 的概率則是 1/6 ,它是平面 x+y+z=1 在單位立方體中截得的乙個三稜錐。這個 1/6 可以利用截面與底面的相似比關係,通過簡單的積分求得:

可以想到,四個 0 到 1 之間的隨機數之和小於 1 的概率就等於四維立方體一角的「體積」,它的「底面」是乙個體積為 1/6 的三維體,在第四維上對其進行積分便可得到其「體積」

∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

依此類推, n 個隨機數之和不超過 1 的概率就是 1/n! ,反過來 n 個數之和大於 1 的概率就是 1 - 1/n! ,因此加到第 n 個數才剛好超過 1 的概率就是

(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

因此,要想讓和超過 1 ,需要累加的期望次數為

∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

求下面函式的返回值(微軟) -- 統計1的個數

int func(int

x)

return

countx;

}

假定x = 9999

答案: 8

思路: 將x轉化為2進製,看含有的1的個數。

注:每執行一次x = x&(x-1),會將x用二進位制表示時最右邊的乙個1變為0,因為x-1將會將該位(x用二進位制表示時最右邊的乙個1)變為0。

判斷乙個數(x)是否是2的n次方

#include int func(int

x)int

main()

注:(1)如果乙個數是2的n次方,那麼這個數用二進位制表示時其最高位為1,其餘位為0。(2)== 優先順序高於&

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