最小的k個數

這道題最簡單的思路是排序，時間複雜度是o(nlog(n))。但是這樣做在那n-k 個數的排序上浪費了資源。

改進一下，將陣列的前k個數作為最小的k數的快取。從第k+1個數開始遍歷，如果有比前k個數小的，就將其和前k個數那個較大交換。

照這個思路，可以引入乙個結構，使得前k個數總是最大的數在第乙個，這樣每次遇到乙個數值需要和前k個數中排在第一位的那個最大數比較就可以了。

這個結構就是最大堆。

思路一：維護乙個maxsize為k的最大堆，用來存放這k個數，遍歷陣列，如果堆未滿，插入堆中。如果堆已滿，如果數字比堆的根節點小，則刪除堆的根節點，向堆中插入這個數字。

時間複雜度為 o(nlog(k))。如果求最大的k個數，就是使用最小堆了。

思路二：其實我們也可以在n個整數的範圍內構建最小堆，然後每次將堆頂的最小值取走，然後調整，再取走堆頂值，取k次，自然就找到了最小的k個數。

這樣做的時間複雜度是多少呢？基於n個無序數構建最小堆，時間是o(n)，而取走堆頂元素，將堆末元素放到堆頂重新調整的時間複雜度是 o(h)，h為堆高度，這裡堆高度h總是logn保持不變。

因此時間複雜度是o(n+k*logn)，這個思路可以再改進：每次重新調整，只需要基於堆頂部k層進行調整，堆末元素被放到堆頂後，最多隻需要下調至k層即可，因此調整的時間複雜度成了o(k)。這樣做的時間複雜度成了 o(n+k*k)。

可以證明o(n+k*k)

我們別忘了思路二的初始化需要基於整個n個數構建堆，而思路一則不需要。實際情況下，我們往往需要基於大量分布式儲存的n個數找出k個數，例如：在分布式存在10臺伺服器上的總大小大約2t的訪問頁面記錄中找出訪問量最高的100個頁面。想要跨10臺伺服器整體構建最大堆，顯然不現實，而思路一則只需要維護乙個100的最小堆，然後順序遍歷10臺伺服器上的記錄即可。

因此思路一更加具有實際意義。

這裡給出思路一的實現。

如果真正寫**，要知道堆是沒有stl的，也就是說我們要自己實現。

書中使用了multiset，multiset和set一樣，都是基於紅黑樹實現，區別是set不允許重複而multiset允許重複。

那麼multiset和vector區別在**？區別在於multiset支援排序。multiset的插入和刪除的時間複雜度也都為 o(logk)

樹上**：

typedef multiset >intset;
typedef multiset
>::iterator setiterator;
void getleastnumbers_solution2(const vector& data, intset& leastnumbers, int
k) }}}

還有第三種思路，快速選擇法。這個方法參考了july的文章，以及csdn上huagong_adu所寫的另一篇對它的解讀。

試想一下，如果存在這麼乙個數，它在陣列的第k位，而且正好前k-1個數比它小，後n-k個數比它大。那麼這個時候，我們只需要這個數前面的那k個數即可。

這是不有點像快排中的 pivot？

先選取乙個數作為基準比較數（作者稱為「樞紐元」，即pivot），用快排方法把資料分為兩部分sa和sb。

如果k< |sa|（ |sa|表示sa的大小），則對sa部分用同樣的方法繼續操作；

如果k= |sa|，則sa是所求的數；

如果k= |sa| + 1，則sa和這個pivot一起構成所求解；

如果k> |sa| + 1，則對sb部分用同樣的方法查詢最小的（k- |sa|-1）個數（其中sa和pivot已經是解的一部分了）。

當pivot選擇的足夠好的時候，可以做到時間複雜度是o(n)

那麼如何選擇乙個好的pivot?

這裡必須提bfprt演算法，這個演算法就是為了尋找陣列中第k小的數而設。

bfprt是一種獲得較優秀pivot的方法。其過程有乙個flash動畫作為演示。其過程是將n個數5個一組劃分，求出沒乙個5元組的中位數，然後再基於這些中位數繼續求中位數，這個重複的次數應該是由k的大小來定，隨後將選出的中位數作為pivot，將小於pivot的數交換到陣列的左側。接著基於這些小於pivot的值，繼續通過「尋找中位數，定pivot，交換法」來縮小範圍，直到最後在乙個較小範圍內找到k個最小值。

附加，最大堆的插入刪除操作：

template class maxheap()
//建立堆，記住堆的根節點是element[1]
//這樣做的目的，是為了可以使用i/2來訪問其父結點，可以使用2i表示其左結點。 
template maxheap::maxheap(
intmaxsize)
//插入節點，其實就是從末節點開始，往上找，直到找乙個地方，讓新元素放進去後，比它的父節點小。
//找的過程中，找過的節點下移到它的子女所在的平台，為了給新結點騰地方
//找到這個地方後，就把新結點安進去 
template bool
maxheap::insert(t ele)
size ++;
int i =size;
while(i > 1
) element[i] =ele;
return
true;}
//刪除節點，就是將根節點刪除，但是我們知道，接下來必須調整，因為陣列中間不能有空缺。
//調整的過程其實就是將陣列末尾的那個元素找個地方放。根節點原來的空位不行，就把空位往下挪，
//一直挪到這個空位放末尾節點合適了，所謂合適，就是末尾節點放在這裡比其子女都大，
//(就算中間沒有合適的位置，移到葉節點，必然合適) ，把末尾節點放進去。 
template bool
maxheap::deletemax()
t temp = elements[size]; //
末尾節點記下來。 
size--; 
int i = 1
; 
while(2*i <= size)
elementp[i] = temp; //
就算一直找到最後也沒找到，這個時候i已經是某乙個葉節點，而且這個葉節點的值已經轉移到父節點上，我們把temp付給它就可以 
return
true
;}

最小的k個數

最小的K個數

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最小的k個數

最小的K個數

最小的K個數

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