擴充套件KMP詳解

以下摘自

求出a[i..lena-1]與b的最長公共字首長度，記為ex[i]（或者說，ex[i]為滿足a[i..i+z-1]==b[0..z-1]的最大的z值）。

擴充套件kmp可以用來解決很多字串問題，如求乙個字串的最長回文子串和最長重複子串。

【演算法】

設next[i]為滿足b[i..i+z-1]==b[0..z-1]的最大的z值（也就是b的自身匹配）。設目前next[0..lenb-1]與ex[0..i-1]均已求出，要用它們來求ex[i]的值。

設p為目前a串中匹配到的最遠位置，k為讓其匹配到最遠位置的值（或者說，k是在0 <= i0 < i的所有i0值中，使i0+ex[i0]-1的值最大的乙個，p為這個最大值，即k+ex[k]-1），

顯然，p之後的所有位都是未知的，也就是目前還無法知道a[p+1..lena-1]中的任何一位和b的任何一位是否相等。

根據ex的定義可得，a[k..p]==b[0..p-k]，因為i>k，所以又有a[i..p]==b[i-k..p-k]，設l=next[i-k]，則根據next的定義有b[0..l-1]==b[i-k..i-k+l-1]。考慮i-k+l-1與p-k的關係：

（1）i-k+l-1 < p-k，即i+l<=p。這時，由a[i..p]==b[i-k..p-k]可以得到a[i..i+l-1]==b[i-k..i-k+l-1]，又因為b[0..l-1]==b[i-k..i-k+l-1]所以a[i..i+l-1]==b[0..l-1]，這就說明ex[i]>=l。又由於next的定義可得，

a[i+l]必然不等於b[l]（否則a[i..i+l]==b[0..l]，因為i+l<=p，所以a[i..i+l]==b[i-k..i-k+l]，這樣b[0..l]==b[i-k..i-k+l]，故next[i-k]的值應為l+1或更大），這樣，可以直接得到ex[i]=l！

（2）i+k-l+1>=p-k，即i+l>p。這時，首先可以知道a[i..p]和b[0..p-i]是相等的（因為a[i..p]==b[i-k..p-k]，而i+k-l+1>=p-k，由b[0..l-1]==b[i-k..i-k+l-1]可得b[0..p-i]==b[i-k..p-k]，即a[i..p]==b[0..p-i]），然

後，對於a[p+1]和b[p-i+1]是否相等，目前是不知道的（因為前面已經說過，p是目前a串中匹配到的最遠位置，在p之後無法知道任何一位的匹配資訊），因此，要從a[p+1]與b[p-i+1]開始往後繼續匹配（設j為目前

b的匹配位置的下標，一開始j=p-i+1，每次比較a[i+j]與b[j]是否相等，直到不相等或者越界為止，此時的j值就是ex[i]的值）。在這種情況下，p的值必然會得到延伸，因此更新k和p的值。

邊界：ex[0]的值需要預先求出，然後將初始的k設為0，p設為ex[0]-1。

對於求next陣列，也是「自身匹配」，類似kmp的方法處理即可。唯一的不同點也在邊界上：可以直接知道next[0]=lenb，next[1]的值預先求出，然後初始k=1，p=ex[1]。

需要嚴重注意的是，在上述的情況（2）中，本該從a[p+1]與b[p-i+1]開始匹配，但是，若p+1< i，也就是p-i+1<0（這種情況是有可能發生的，當ex[i-1]=0，且前面的ex值都沒有延伸到i及以後的時候）的話，需要將a、b的下標都加1（因為此時p必然等於i-2，如果a、b的下標用兩個變數x、y控制的話，x和y都要加1）！！

【時間複雜度分析】

在kmp和擴充套件kmp中，不管是a串還是b串，其匹配位置都是單調遞增的，故總時間複雜度是線性的，都為o(lena + lenb)（只是擴充套件kmp比kmp的常數更大一些）。

【應用】

kmp和擴充套件kmp在解決字串問題中有大用。很多看上去很猥瑣的字串問題，都可以歸結到這兩種演算法之中。另外，這裡的「字串」可以延伸為一切型別的陣列，而不僅僅是字元陣列。

#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int n = 101010;
int next[n],extand[n];
void getnext(char *t) 
else next[k] = l;
} }void getextand(char *s,char *t) 
else extand[k] = l; 
}}int main() }/*
aaaabaaa aaaa
*/

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