點乘和叉乘及其物理意義（C STL實現）

一些錯誤觀念的澄清，比如數學意義上的點積和叉積並不對應matlab程式中的.*(按位相乘)和*（矩陣乘法）

內積的物理意義

叉積的意義

如何使用c++語言（stl容器，運算子過載）：

又叫點乘，點積（dot product），數量積，顧名思義得到的是乙個標量（scalar）。向量

x=[x

1,x2

,…,x

n]和y=[

y1,y

2,…,

yn] 的內積定義為：x⋅

y=∑i

nxiy

i=x1

y1+x

2y2+

⋯+xn

yn也即：內積等於向量的對應位相乘再相加，如果從函式的觀點來看的話，即是兩個向量相互作用得到乙個標量。

內積對相互作用的兩個向量x,

y 的長度也即各自所含元素的個數是沒有限制的。這點不同於向量叉積，叉積所要的向量長度最高為3.

歐式空間中，向量是乙個同時擁有長度和方向的幾何物件。向量

x 的長度記為∥x

∥，兩個向量的內積定義為：x⋅

y=∥x

∥∥y∥

cosθ

θ標識著兩向量的夾角。可見當向量正交時，θ=

90∘，x⋅y

=0。

當向量y

被歸一化為長度為1的單位向量時，x⋅

y=∥x

∥cos

θ，我們來考察x,

y 均為二維的情形：

如上圖所示，此時二者的內積表示的恰是其中乙個向另外乙個的投影，投影長度越小，說明二者的夾角越大，反之亦然。當兩向量同時歸一化為1時，此時內積的定義為：x⋅

y=co

sθ，內積越大，說明兩者夾角越小，也間接地說明兩者也就越相似，故在許多機器學習的演算法，常用余弦相似性來度量兩特徵向量的逼近程度。內積既然能夠表徵兩向量的夾角，自然判斷兩向量是否正交（值為0）就更不在話下了。

又叫叉乘（cross product）或者外積，它的計算結果是乙個向量而非標量。叉積所在的向量與參與運算的兩個向量都正交，也即正交於原來的兩個向兩邊所決定的平面，也即兩向量所決定的平面的法向量可通過計算叉積的方式得以確定。當參與運算的兩向量是平行的兩個向量時，得到的叉積為0，也即可通過計算叉積的方式判斷兩向量是否平行。x×

根據如圖的計算方法可得：u×

v===

=∣∣∣

∣iu1

v1ju

2v2k

u3v3

∣∣∣∣

(u2v

3i+u

3v1j

+u1v

2k)−

(u3v

2i+u

1v3j

+u2v

1k)(

u2v3

−u3v

2)i+

(u3v

1−u1

v3)j

+(u1

v2−u

2v1)

k(u2

v3−u

3v2,

u3v1

−u1v

3,u1

v2−u

2v1)

x×y=∥x∥

∥y∥s

inθn

⃗ n⃗

表示叉積方向上的單位向量。

中學知識告訴我們三角形的面積計算公式為： s=

∥x∥∥

y∥si

nθ2=

∥z∥h

2 其中θ

表示的是x,

y 之間的夾角，由以上兩個公式我們可得到三角形的高或者點到其所對的邊的距離，也即點到直線的距離，的計算公式： h=

∥x×y

∥/∥z

∥

typedef
vector
vec;

vec operator-(const vec& x, const vec& y)

為了形式的簡單，我們在c++中以*表示內積，以^表示叉積，分別對二者進行運算子過載：

double
operator*(const vec& x, const vec& y)
// 三維的情況
vec operator^(const vec& x, const vec& y)
; // uniform initialization, c++11新特性
}// 二維就姑且返回其模長吧
double twodcrossprod(const vec& x, const vec& y)

double norm(const vec& x)

#define pi 3.14159265358979323846
// 弧長向弧度的轉換
double todegree(double val)
double angle(const vec& x, const vec& y)

// x0, x1, x2 分別表示三角形的三個頂點的座標
// 這裡計算的是點x0到x1和x2構成的直線的距離
double
distance(const vec& x0, const vec& x1, const vec& x2)

客戶端程式：

int main(int, char**)
, y;
vec z = x^y; // 計算叉乘
copy(z.begin(), z.end(), ostream_iterator(cout, " "));
cout
<< endl;
// 0 0 1
vec alpha, beta;
cout
<< angle(alpha, beta) << endl;
// 45
vec x0, x1, x2; 
cout
<< distance(x0, x1, x2) << endl;
// 1/sqrt(2)
return
0;}

點乘和叉乘及其物理意義（C STL實現）

點乘和叉乘

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