最短路徑 Dijkstra演算法和Floyd演算法

2021-07-08 20:07:27 字數 2935 閱讀 4089

dijkstra演算法

1.定義概覽

dijkstra(迪傑斯特拉)演算法是典型的單源最短路徑演算法,用於計算乙個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件,直到擴充套件到終點為止。dijkstra演算法是很有代表性的最短路徑演算法,在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹,如資料結構,圖論,運籌學等等。注意該演算法要求圖中不存在負權邊。

問題描述:在無向圖 g=(v,e) 中,假設每條邊 e[i] 的長度為 w[i],找到由頂點 v0 到其餘各點的最短路徑。(單源最短路徑)

2.演算法描述

1)演算法思想:設g=(v,e)是乙個帶權有向圖,把圖中頂點集合v分成兩組,第一組為已求出最短路徑的頂點集合(用s表示,初始時s中只有乙個源點,以後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合s中,直到全部頂點都加入到s中,演算法就結束了),第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合(用u表示),按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入s中。在加入的過程中,總保持從源點v到s中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到u中任何頂點的最短路徑長度。此外,每個頂點對應乙個距離,s中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度,u中的頂點的距離,是從v到此頂點只包括s中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

2)演算法步驟:

a.初始時,s只包含源點,即s=,v的距離為0。u包含除v外的其他頂點,即:u=,若v與u中頂點u有邊,則正常有權值,若u不是v的出邊鄰接點,則權值為∞。

b.從u中選取乙個距離v最小的頂點k,把k,加入s中(該選定的距離就是v到k的最短路徑長度)。

c.以k為新考慮的中間點,修改u中各頂點的距離;若從源點v到頂點u的距離(經過頂點k)比原來距離(不經過頂點k)短,則修改頂點u的距離值,修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重複步驟b和c直到所有頂點都包含在s中。

執行動畫過程如下圖

3.演算法**實現:

const

int maxint = 32767

;const

int maxnum = 10

;int

dist[maxnum];

intprev[maxnum];

inta[maxunm][maxnum];

void dijkstra(int

v0)   dist[v0] = 0

;   s[v0] = true

;   

for(int i=2; i<=n; i++)

s[u] = true

;   

for(int j=1; j<=n; j++)

if((!s[j]) && a[u][j]}}

}

4.演算法例項

先給出乙個無向圖

用dijkstra演算法找出以a為起點的單源最短路徑步驟如下

floyd演算法

1.定義概覽

floyd-warshall演算法(floyd-warshall algorithm)是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法,可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題,同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。floyd-warshall演算法的時間複雜度為o(n3),空間複雜度為o(n2)。

2.演算法描述

1)演算法思想原理:

floyd演算法是乙個經典的動態規劃演算法。用通俗的語言來描述的話,首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題,我們需要為這個目標重新做乙個詮釋(這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在)

從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能,1是直接從i到j,2是從i經過若干個節點k到j。所以,我們假設dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離,對於每乙個節點k,我們檢查dis(i,k) + dis(k,j) < dis(i,j)是否成立,如果成立,證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短,我們便設定dis(i,j) = dis(i,k) + dis(k,j),這樣一來,當我們遍歷完所有節點k,dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

2).演算法描述:

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權,如果兩點之間沒有邊相連,則權為無窮大。   

b.對於每一對頂點 u 和 v,看看是否存在乙個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

3).floyd演算法過程矩陣的計算----十字交叉法

方法:兩條線,從左上角開始計算一直到右下角 如下所示

給出矩陣,其中矩陣a是鄰接矩陣,而矩陣path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經過的點

相應計算方法如下:

最後a3即為所求結果

3.演算法**實現

typedef struct

mgraph;

void

floyd(mgraph g)

for(k=0;k)

} }

演算法時間複雜度:o(n3)

Dijkstra最短路徑演算法

基本思路是 選擇出發點相鄰的所有節點中,權最小的乙個,將它的路徑設定為確定。其他節點的路徑需要儲存起來。然後從剛剛確認的那個節點的相鄰節點,算得那些節點的路徑長。然後從所有未確定的節點中選擇乙個路徑最短的設定為確定。重複上面步驟即可。void dijkstra graph g,string v fl...

Dijkstra最短路徑演算法

引入 dijkstra 迪傑斯特拉 演算法是典型的最短路徑路由演算法,用於計算乙個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件,直到擴充套件到終點為止。dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解,但由於它遍歷計算的節點很多,所以效率低。package dijkstra p...

最短路徑 Dijkstra演算法

最短路徑 描述 已知乙個城市的交通路線,經常要求從某一點出發到各地方的最短路徑。例如有如下交通圖 則從a出發到各點的最短路徑分別為 b 0c 10 d 50 e 30 f 60 輸入 輸入只有乙個用例,第一行包括若干個字元,分別表示各頂點的名稱,接下來是乙個非負的整數方陣,方陣維數等於頂點數,其中0...