約瑟夫環問題的幾種解法

一、問題的來歷

據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事：在羅馬人占領喬塔帕特後，39個猶太人與josephus及他的朋友躲在乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了乙個自殺方式，41個人排成乙個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下乙個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而josephus 和他的朋友並不想遵從。問題是，給定了總人數n和報數值m，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

二、問題的基本描述

n個人圍成圈，依次編號為1、2、3、...、n,從1號開始依次報數，當報到m時，報m的人退出，下乙個人重新從1報起，當報到m時，報m的人退出，如此迴圈下去，問最後剩下的那個人的編號是多少？

三、解題方法

（一）模擬法

這個問題的解決，最容易想到的方法就是模擬法，利用乙個迴圈鍊錶，節點的數值部分儲存整數1至n，每次遍歷m步，把第m個節點數值列印輸出後刪除該節點，如此迴圈下去，直至只剩乙個節點，（只剩乙個節點的判斷方法是：節點的指向節點自己，也就是p->next=p）,節點的數值部分就是最後那個人的編號。下面是c語言程式：

#include #include typedef struct node  /*宣告乙個鍊錶節點*/
node;
node* creatnode(int x) /*建立鍊錶節點的函式*/
node* creatjoseph(int n) /*建立環形鍊錶，存放整數1到n*/
q->next=head;
return head;
}void runjoseph(int n,int m) /*模擬執行約瑟夫環，每數到乙個數，將它從環形鍊錶中摘除，並列印出來*/
q=p->next;
p->next=q->next;
p=p->next;
printf("%d--",q->number);
free(q);
}printf("\n最後剩下的數為：%d\n",p->number);
}int main()

（二）遞迴法

要想用到遞迴法就必須找到f(n)和f(n-1)之間的關係，那麼約瑟夫環有沒有這樣乙個規律關係在呢，答案是有的。

我們假設n個人，報數到m的退出，最後剩下人的編號為x。那麼第一次報數後，編號為m的人退出，那麼剩下的人從編號為m+1繼續報數，如果我們把m+1看成1,m+2看成2,....,n看成n-m,1看成是1-m+n,2看成是2-m+n,...,m-1看成是(m-1)-m+n也就是n-1,那麼這就變成了乙個n-1個人報數為m的約瑟夫環的問題，而且這裡最後剩下人就是原來編號為x的那個人，按前面的對應關係f(n)=(f(n-1)+m)%n，這裡有個例外，就是如果x=n的話，就會出現f(n)=n,而(f(n-1)+m)%n=((n-m)+m)%n=n%n=0,所以我們把編號加點小技巧，如果n個人編號從0編到n-1，那麼f(n)=(f(n-1)+m)%n成立，如果換算成1到n編號，f(n)-1=((f(n-1)-1)+m)%n,也就是f(n)=((f(n-1)-1)+m)%n+1。

有了f(n)=(f(n-1)-1+m)%n+1這個公式，另外我們知道，當n=2時，m為奇數時最後留下的是2，m為偶數時最後留下的是1，我們就可以寫出遞迴程式了，下面是遞迴法的c語言程式：

#include int joseph(int n,int m)/*計算約瑟夫環的遞迴函式*/
else
}int main()

（三）迭代法

有遞迴法，我們看看有沒有相應的迭代法，用的還是剛才的那個公式，方法就是從總人數為2開始一步一步推導到總人數為n時最後應該留下誰。下面是迭代法的c語言程式：

#include int josephus(int n,int m)/*計算約瑟夫環問題的迭代法函式*/
return y;} 
int main()

四、總結

模擬法的好處是，可以模擬過程，可以將出列人員按次序輸出出來，不足之處是演算法複雜度為o(mn),當m和n數值較大時，計算量太大。遞迴法和迭代法的好處是演算法複雜度為o(n)，計算量小，運算速度快，但無法模擬過程，無法按次序輸出先後的出列人員。

約瑟夫環問題的幾種解法

約瑟夫環問題數學解法

約瑟夫環O N 解法

約瑟夫環問題的數學解法

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