堆和優先佇列

學習資料結構的時候就學習過堆，不過忘了很多了，《程式設計珠璣》裡也有這一章，因此重新總結一下。

堆的兩個性格：（1）順序性質：任何結點的值都小於或等於子結點的值。（對於最小堆而言）

（2）形狀性質：二叉樹結構，最多在兩層上具有葉結點，其中最底層的結點盡可能的靠左分布。

堆的實現：考慮以陣列實現，對於大小為n的堆，宣告陣列x[n+1]，下標從1開始並浪費x[0]。樹種常見的函式定義如下：

root = 1；

value(i) = x[i];

leftchild(i) = 2*i;

rightchild(i) = 2*i+1;

parent(i) = i /2;

null(i) = (i < 1) or (i > n).

堆的兩個關鍵函式:即上濾siftup和下濾siftdown函式，後面操作都要反覆呼叫這兩個函式。

siftup函式：當存在heap(1,n-1),考慮在n處插入乙個新的元素。新插入的元素可能會破壞堆的性質，如果新插入的元素比它的父節點小，就需要將元素和父結點交換，直到到達合適的位置並成為根的右結點為止。

void siftup(n)

下面考慮下濾siftdown，假設給x[1]乙個新值，使用siftdown函式使堆的性質保持。這裡除了要考慮邊界條件還要考慮到存在兩個子結點，處理辦法是總是與較小的子結點交換。

void siftdown(n)
}

有了資料結構，開始考慮對堆進行的一些操作了。

構建堆：一般的演算法是將n個關鍵字以任意順序放入樹中，保持結構特性。考慮將結點上濾可以完成一顆具有堆序的樹。

//上濾建堆
for(int i = 2; i <= n; ++i)
siftup(i);

堆的插入操作：把新加入的元素放在堆得末尾，實現上濾就可以了，同時考慮邊界。

void insert(t)

函式extractmin查詢並刪除集合中的最小元素，然後重新組織使其具有堆性質。思想是從堆頂取出元素，將堆的最後乙個元素賦給堆頂然後下濾。

elementtype extractmin()

封裝成c++類：


templateclass priqueue
public:
priqueue(int m)
void siftup(n)
void siftdown(n)
}void insert(t)
t extractmin()
};

堆排序：通過建立優先佇列然後反覆呼叫extractmin函式可以實現排序，建優先佇列和extractmin的時間開銷均為o(nlogn);但是優先佇列和陣列的空間開銷分別為n+1和n.利用堆排序可以直接在陣列上排序。時間複雜度o(nlogn).

//優先佇列排序
templatevoid pqsort(t v, int n)

//堆排序
void swap(int *v, int i, int j)
void siftup(int *v, int n)
void siftdown(int *v, int n)
} 
//堆排序
void heapsort(int *v, int n)
}

上面討論的堆捨棄了陣列0位置不用，如果考慮以0位置作為根的話，則左子結點為2*i+1,父結點為（i-1)/2，重新利用堆排序如下：

void swap(int *v, int i, int j)
void siftup(int *v, int n)
void siftdown(int *v, int n)
} 
//堆排序
void heapsort(int *v, int n)
}