01揹包問題

01揹包問題描述：給定n個體積為v1....vn，價值為p1...pn的物品和乙個體積為v的包，求能夠裝進包中物品的最大價值。

為了設計乙個動態規劃演算法，我們需要匯出狀態轉移方程。先考慮原問題的子問題，假設我們考慮前i個問題，揹包容積為j，記將前i個物品裝到容積為j的包中最大總價值為w[i,j];每個物品只有選擇和不選擇兩種情況，我們根據第i個物品是否選擇進行分類。在不包含第i個物品的最優解價值為w[i-1,j],在包含第i個物品的最優解中,最優子集是該物品和前i-1個物品中能夠放入最大體積 j - v[i](j-v[i]>0)的揹包的最優解組成。這時候最優解為p[i]+w[i-1,j-v[i]];於是在前i個物品的最優解是這兩種情況的最大值。特殊情況，第i個物品本身體積大於包時，從前i個物品中選出的最優解價值等於從前i-1個物品中選出的最優解的價值。

狀態轉移方程：w[i,j]=max(j-v[i]>=0),若j-v[i]<0，則w[i,j]=w[i-1,j].

上面狀態轉移方程時間和空間複雜度均為o(vn)，時間複雜度無法優化，而空間複雜度還可以繼續優化。我們可以使用一維陣列來代替上面的二維陣列，則狀態轉移方程如下：

w[ j ]=max (j>=v[ i ])

其中左邊的w[j]是w[i,j],右邊的w[j]是w[i-1,j]，w[j-v[i]]是w[i-1][j-v[i]].可以用下面迴圈：

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=v;j>=v[i];j--)

......

這樣一來空間複雜度為o(v);我們再來看初始化的問題，揹包問題有兩種情況。第一種要求揹包裝滿，在初始化時w[0]=0,而w[1..v]= -1,因為在0個物品情況下，只有體積為0的揹包可以看做什麼也不放入即是他的合法解，而包體積j>0時是無論如何也裝不滿的，於是找不到合法的解，標誌為-1;第二種是不要求揹包裝滿的情況，則可以將w[0...v]=0全部初始化為0，這時有0個物品，包裡什麼也不裝就是它的合法解，總價值都為0；下面兩種情況c++**：

#includeusing namespace std;
#define max_size 500
int n, v;
int w[max_size];
int p[max_size];
int v[max_size];
int main()
} cout << w[v] << endl;
return 0;
}

#includeusing namespace std;
#define max_size 500
int n, v;
int w[max_size];
int p[max_size];
int v[max_size];
int bag01(int v, int p);
int main(){
int i,j,pos;
memset(w,0, sizeof(w)); //邊界初始化
cin >> n >>v;
for (i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> p[i]; 
for (i = 1; i <= n; i++){
for (j = v; j >= v[i]; j--){
pos = j - v[i];
if ( w[j]

01揹包問題

揹包問題 01揹包問題

揹包問題 01揹包

揹包問題（01揹包）

01揹包問題

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揹包問題 01揹包

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