揹包問題（一） 0 1揹包問題

揹包問題有多種，比如：

問題1：物品受限揹包，第i種物品最多取ni個

問題2: 0-1揹包，本文即將介紹，xi=0或者1，i=1、2、3........n

問題3：多揹包問題，m個揹包，揹包j裝入最大重量bj，j=1、2、3........m，在滿足所有揹包重量約束

條件下使得裝入物品價值最大

問題4：二維揹包，每件物品有wi和體積ti，i=1,2.......n，揹包總重不超過b，體積不超過n，如何選擇物品使得

價值最大

先分析0-1揹包問題，其他的陸續更新

給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

分析一波，面對每個物品，我們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇，不能選擇裝入某物品的一部分，也不能裝入同一物品多次（01揹包的乙個重要特點）。

解決辦法：宣告乙個大小為 m[n][c] 的二維陣列，m[ i ][ j ] 表示在面對第 i 件物品，且揹包容量為 j 時所能獲得的最大價值，那麼我們可以很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法，

（1）. j < w[i] 的情況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情況，這時揹包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。這裡的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量為j-w[i]時的最大價值，也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿還是不拿，自然是比較這兩種情況那種價值最大。

由此可以得到狀態轉移方程：

if(j>=w[i])  
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
else  
m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1揹包問題。在使用動態規劃演算法求解0-1揹包問題時，使用二維陣列m[i][j]儲存揹包剩餘容量為j，可選物品為i、i+1、……、n時0-1揹包問題的最優值。繪製

價值陣列v = ，

重量陣列w = ，

揹包容量c = 12時對應的m[i][j]陣列。01

2345

6789

1011121

0008

8888

2000

881010

1010

1818183

0668

8141416

1618

182440

6699

1414

1717

1919245

0669

9141417

1719

212462

68911

1416

1719

1921

24(第一行和第一列為序號，其數值為0)

如m[2][6],在面對第二件物品，揹包容量為6時我們可以選擇不拿，那麼獲得價值僅為第一件物品的價值8，如果拿，就要把第一件物品拿出來，放第二件物品，價值10，那我們當然是選擇拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次類推，得到m[6][12]就是考慮所有物品，揹包容量為c時的最大價值。

到這一步，可以確定的是可能獲得的最大價值，但是我們並不清楚具體選擇哪幾樣物品能獲得最大價值。

另起乙個 x[ ] 陣列，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]為最優值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,說明有沒有第n件物品都一樣，則x[n]=0 ; 否則 x[n]=1。當x[n]=0時，由x[n-1][c]繼續構造最優解；當x[n]=1時，則由x[n-1][c-w[i]]繼續構造最優解。以此類推，可構造出所有的最優解。

void traceback()  
}  x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
}

本例完整**如下：

#include #include #include //用到了庫函式max()
using namespace std;
const int n = 15;
int main()
; int w[n] = ;
int m[n][n];
int n = 6, c = 12;
memset(m, 0, sizeof(m));
for (int i = 1; i <= n; i++)
}for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << endl;
}int x[7] = ;
for (int i = n; i>1; i--)
}x[1] = (m[1][c]>0) ? 1 : 0;
for (int e = 1; e <= 6; ++e)
return 0;
}

例：某工廠預計明年有a、b、c、d四個新建專案，每個專案的投資額wk及其投資後的收益vk如下表所示，投資總額為30萬元，如何選擇專案才能使總收益最大？

project

vka

bcd結合前面兩段**

#include #include using namespace std;    
const int n=150; 
int v[n]=; 
int w[n]=; 
int x[n]; 
int m[n][n]; 
int c=30; 
int n=4; 
void traceback() 
} 
x[1]=(m[1][c]>0)?1:0; 
} 
int main() 
{ 
memset(m,0,sizeof(m)); 
for(int i=1;i<=n;i++) 
{ 
for(int j=1;j<=c;j++) 
{ 
if(j>=w[i]) 
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 
else 
m[i][j]=m[i-1][j]; //

//當可選的專案只有1號時候，1號選不選僅取決於錢數是否付得起1號專案，付得起就選

/* for(int i=1;i<=6;i++) { for(int j=1;j<=c;j++) { coutfor(int i=1;i<=n;i++)

cout

輸出x[i]陣列：0111，輸出m[4][30]：22。

得出結論：選擇bcd三個專案總收益最大，為22萬元。

不過這種演算法只能得到一種最優解，並不能得出所有的最優解。

參考：

揹包問題（一） 0 1揹包問題

揹包問題 01揹包問題

揹包問題 01揹包

揹包問題（01揹包）

揹包問題（一） 0 1揹包問題

揹包問題 01揹包問題

揹包問題 01揹包

揹包問題（01揹包）

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