簡單的概率問題

高中數學知識都還給老師了，乙個簡單的概率問題都困擾良久，汗顏啊。。。

是這樣的乙個問題：乙個人從第 i 個節點走上第 i+1 個節點的概率是 p。從第 i 節點到第 i+1 節點算作一步。現在需要驗證此人走 0 步，走 1 步，走 2 步，。。。走 n 步的概率之和為 1.

解決方法是：

走 0 步的概率：1-p

走 1 步的概率：p

走 2 步的概率：p^2

...走 n 步的概率：p^n-1

將各個概率相加：1-p + p+ p^2 + p^3 + ......

這顯然是大於 1 的！錯誤出現在哪兒呢？

走 0 步的概率確實為 1-p，只需要此人不邁開步即可。那走一步的概率是 p 嗎？當邁開腿後的概率是 p，但無法保證此人是否還會繼續往前走！因此，p 不是此人只走一步的概率，而是此人起碼走一步的概率！此人只走一步的概率應該是：p(1-p)，不僅要保證此人邁開腿，還要保證只邁一次腿。

因此：走 0 步的概率：1-p

走 1 步的概率：p(1-p)

走 2 步的概率：p^2( * 1-p)

...走 n 步的概率：p^n-1 * (1-p)

相加的結果正好是 1 ！